Vervollständigung des Quadrats

Mit der Methode der quadratischen Addition können wir die quadratische Funktion ax² + bx + c in der Form (x + m)² + n ausdrücken.

Der Quadrierungsalgorithmus

Der Algorithmus verwendet die klassische Formel für die Klammeraddition:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Das Verfahren ist wie folgt. Nehmen wir zunächst a = 1 an. Wir haben eine quadratische Funktion f(x) = x² + 6x + 1 und wollen sie in die Form (x + m)² + n umwandeln. Als erstes müssen wir die Werte der ersten Klammer bestimmen: (x + m)² Welche Zahl müssen wir nach m einsetzen? Nach der Formel muss die Gleichheit (x + m)² = x² + 2mx + m² gelten. In der Funktion f haben wir x², das ist in Ordnung. Aber anstelle des linearen Terms haben wir 6x. Welchen Wert müssen wir nach m wählen, damit 6x = 2mx gültig ist? Offensichtlich muss m = b/2 = 6/2 = 3 gültig sein. Wir setzen also immer die Hälfte des Wertes von b aus der quadratischen Funktion hinter m.

So erhalten wir die Form (x + 3)² − n. Es bleibt noch, die Zahl n zu bestimmen. Wir wissen jetzt, dass (x + m)² = x² + 2mx + m² gültig ist. Der Teil x² + 2mx wird gesucht, aber der Ausdruck m² bleibt übrig, es gibt keine Entsprechung in der Funktion f. Daher subtrahieren wir m² vom aktuellen Ergebnis, um die Form (x + m)² − m² zu erhalten, die multipliziert gleich x² + 2mx + m² − m² ist. Nach der Subtraktion haben wir nur noch x² + 2mx.

Aber in der Funktion f haben wir immer noch den absoluten Term c. Wir addieren ihn einfach. Nach der Multiplikation von x² + 2mx + m² − m² + c und der Vereinfachung von x² + 2mx + c erhalten wir die Form (x + m)² − m² + c. Da m = b/2, dieser Ausdruck gleich x² + bx + c ist, erhalten wir nach der Multiplikation des Ausdrucks (x + m)² − m² + c wieder die ursprüngliche Funktion, die wir richtig berechnet haben. (Ich wiederhole, dass a = 1, nirgends fehlt.)

Für die Beispielfunktion f erhalten wir also einen Ausdruck in Form eines Quadrats (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8. Wir können versuchen, ihn zurück zu multiplizieren:

$$\begin{eqnarray} (x+3)^2-8&=&x^2+6x+9-8\\ &=&x^2+6x+1 \end{eqnarray}$$

Die Methode der quadratischen Addition wird z. B. verwendet, wenn man den Graphen einer quadratischen Funktion zeichnen will.

Wenn a≠1

Wenn wir eine Funktion haben, für die nicht gilt, dass a = 1, zeichnen wir die gesamte Funktion mit der Zahl a und gehen so vor, wie wir es bereits kennen. Beispiel:

$$2x^2+16x-12=0$$

Wir geben eine Zwei aus der gesamten Funktion aus:

$$2\cdot(x^2+8x-6)=0$$

Wir können die Funktion innerhalb der Klammern bereits in ein Quadrat umwandeln.

$$x^2+8x-6=(x+4)^2-16-6=(x+4)^2-22$$

Wir setzen dieses Ergebnis in die vorherige Gleichung ein und erhalten:

$$2\cdot(x^2+8x-6)=2\left((x+4)^2-22\right)=2(x+4)^2-44$$