Kommutativität

Die Kommutativität ist eine Eigenschaft von Operationen wie der Addition. Wir können feststellen, dass bei der Addition die Reihenfolge keine Rolle spielt, so dass 3 + 5 dasselbe ist wie 5 + 3. Egal, welche zwei reellen Zahlen wir auf a + b addieren, das Ergebnis wird dasselbe sein, auch wenn wir die Zahlen, die wir addieren, vertauschen: b + a Erfüllt eine Operation diese Bedingung, so ist sie kommutativ.

Ein Beispiel für eine andere Operation, die kommutativ ist, ist die Multiplikation, denn 2 · 6 hat das gleiche Ergebnis wie 6 · 2, und dasselbe gilt für zwei beliebige Zahlen a, b:

$$\large a\cdot b = b\cdot a$$

Ein Beispiel für eine Operation, die nicht kommutativ ist, ist die Subtraktion, denn 7 − 4 unterscheidet sich von 4 − 7. Im ersten Fall erhalten wir das Ergebnis 3, im zweiten Fall −3. Ein weiteres Beispiel ist die Division, denn 2 / 5 unterscheidet sich von 5 / 2.

Achten Sie aber auf andere Eigenschaften der Operationen, z. B. die Priorität der Multiplikation. Wenn wir einen Ausdruck 1 + 2 · 3 haben, können wir nicht sagen, dass er dasselbe ist wie 2 + 1 · 3. Das liegt daran, dass die Priorität der Multiplikation Vorrang vor der Addition hat. Wir können uns mit Klammern helfen: der Ausdruck 1 + 2 · 3 ist gleich 1 + (2 · 3). Wenn wir das Kommutativitätsgesetz der Addition anwenden wollen, können wir das, aber wir müssen die ganze Klammer mitnehmen: 1 + (2 · 3) ist gleich (2 · 3) + 1, und das ist gleich (3 · 2) + 1, wenn wir noch die Kommutativität der Multiplikation anwenden.

Multiplikative Operationen und Kommutativität

Kommutative Operationen müssen nicht nur Operationen auf Zahlen sein, sondern zum Beispiel auch Operationen auf Mengen. Zum Beispiel ist die Schnittmenge der Mengen A und B eine kommutative Operation. Die Schnittmenge zweier Mengen sind "die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind", d. h.

$$\large A\cap B = B\cap A$$

Genauso verhält es sich mit der Vereinigung der Mengen A und B, die "Elemente, die in mindestens einer der Mengen enthalten sind" ergibt, also:

$$\large A\cup B = B\cup A$$

Der Kommutativ ist z. B. kein Mengenunterschied.

Vektoren

Unter den Operationen auf Vektoren gibt es noch eine weitere kommutative Operation, nämlich die Vektoraddition - im Allgemeinen ist die Addition eine kommutative Operation. In diesem Fall, wenn wir zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben, dann

$$\large\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$$

Dies wird in der folgenden Abbildung grafisch dargestellt:

Die Addition $\vec{u}+\vec{v}$ zeigt den "oberen Weg", bei dem wir zuerst den roten Vektor $\vec{u}$ und dann den blauen Vektor $\vec{v}$ anwenden. Die Addition $\vec{v}+\vec{u}$ zeigt den "unteren Weg", bei dem wir zuerst den Weg des blauen Vektors $\vec{v}$ und dann den des roten Vektors $\vec{u}$ nehmen. Das Ergebnis ist aber dasselbe, die Vektoren enden am selben Punkt.

Man kann sich das so vorstellen, dass man von einem Ort kommt und fünfzig Meter nach Norden und dann zwanzig Meter nach Westen geht. Wenn man erst zwanzig Meter nach Westen und dann fünfzig Meter nach Norden geht, landet man am selben Ort. Diese Art des Gehens ist also kommutativ.

Logik

Zu den kommutativen Operationen gehören auch die logischen Operatoren "und gleichzeitig" (Konjunktion) und "oder" (Disjunktion). Das bedeutet, dass die Aussage "die Zahl 5 ist sowohl ungerade als auch prim" die gleiche Gültigkeit hat wie die Aussage "die Zahl 5 ist sowohl prim als auch ungerade". Ähnlich verhält es sich bei der Konjunktion: "Die Zahl 6 ist primär oder gerade" hat die gleiche Gültigkeit wie die Aussage "Die Zahl 6 ist gerade oder primär".

Der Kommutativ ist jedoch keine Implikation, d. h. die Aussage "Wenn ich beim Sport gewinne, dann werde ich reich" ist nicht dasselbe wie "Wenn ich reich bin, dann werde ich beim Sport gewinnen".