Operationen mit Vektoren

Mit Vektoren können wir grundlegende Operationen wie Addition oder Multiplikation durchführen.

Vektoren addieren

Wenn wir zwei Vektoren addieren wollen, stellen wir sie im Ursprung des Koordinatensystems dar und fügen sie dann zur Raute hinzu, wobei die Diagonale, die im Ursprung beginnt, der resultierende Vektor ist. Natürlich ist ein anschauliches Bild vorbereitet:

Analytisch gesehen ist die Summe der Vektoren dann die Summe der entsprechenden Koordinaten. Wenn Sie also zwei Vektoren $\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2)$ und $\vec{\mathbf{v}}=(v_1, v_2)$ haben, dann ist die Summe von $\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}$ gleich

$$\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}=(u_1+v_1, u_2+v_2)$$

Für die Vektoren in der Abbildung: $\vec{\mathbf{u}}=(2, 4)$ und $\vec{\mathbf{v}}=(4, 1)$. Die Summe sieht dann wie folgt aus: $\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}=(2+4, 4+1)=(6, 5)$ Diese Koordinaten entsprechen dem Punkt D.

Wenn Sie Vektoren subtrahieren, ist es dasselbe, als ob Sie den entgegengesetzten Vektor addieren würden. Analytisch:

$$\vec{\mathbf{u}}-\vec{\mathbf{v}}=(u_1-v_1, u_2-v_2)$$

Wenn man Vektoren addiert, die auf der gleichen Linie und in der gleichen Richtung liegen, dann streckt man einfach den resultierenden Vektor. Wenn sie in entgegengesetzter Richtung liegen, subtrahieren wir ihren Betrag. Dies ist anhand der Abbildung leichter zu erkennen:

Die Vektoraddition ist kommutativ und assoziativ. Es gibt einen Vektor $\vec{\mathbf{0}}$, den wir den Nullvektor nennen, für den $\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{0}}=\vec{\mathbf{u}}$, ähnlich wie für Zahlen, gilt. Für jeden Vektor $\vec{\mathbf{u}}$ gibt es einen entgegengesetzten Vektor $-\vec{\mathbf{u}}$, für den $\vec{\mathbf{u}}+(-\vec{\mathbf{u}})=\vec{\mathbf{0}}$ gilt.

Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Multipliziert man einen Vektor mit der reellen Zahl k, so multipliziert man einfach seine beiden Koordinaten mit k. In der geometrischen Interpretation führt dies zu einer "Streckung" oder "Schrumpfung" des Vektors oder zu seiner Invertierung, wenn k negativ ist.

Die Abbildung zeigt, dass wir den Vektor u mit k multiplizieren:

• Wenn der absolute Wert von k kleiner als eins ist, dann ist der Vektor kleiner.
• Wenn der absolute Wert von k größer als eins ist, dann ist der Vektor größer.
• Wenn k negativ ist, dann hat der Vektor die entgegengesetzte Richtung.

Lineare Kombination von Vektoren

In der linearen Algebra verwenden wir oft Linearkombinationen von Vektoren. Wenn wir Vektoren $\vec{\mathbf{u}}_1, \vec{\mathbf{u}}_2, \vec{\mathbf{u}}_3, \ldots$ haben, dann ist die Linearkombination dieser Vektoren

• k ein Vielfaches von einem der Vektoren $\vec{\mathbf{u}}_n$,
• die Summe von zwei oder mehr beliebigen Vektoren,
• Kombination der vorherigen - wir können k_n Vielfache beliebiger $\vec{\mathbf{u}}_n$ Vektoren addieren.

Wenn wir Vektoren $\vec{\mathbf{u}}_1, \vec{\mathbf{u}}_2, \ldots, \vec{\mathbf{u}}_n$ haben, dann ist ein Vektor $\vec{\mathbf{v}}$ eine lineare Kombination von Vektoren $\vec{\mathbf{u}}_n$, wenn:

$$\vec{\mathbf{v}}=c_1\cdot \vec{\mathbf{u}}_1+c_2\cdot \vec{\mathbf{u}}_2+\ldots+c_n\cdot \vec{\mathbf{u}}_n;\quad c_i\in\mathbb{R}$$

Beachten Sie, dass die Koeffizienten von c_i reelle Zahlen sind, so dass wir Null für sie wählen können, was dazu führt, dass einer der Vektoren vollständig wegfällt. Beispiel: Wir haben die Vektoren $\vec{\mathbf{u}}_1=(1,3), \vec{\mathbf{u}}_2=(0,4), \vec{\mathbf{u}}_3=(7,2)$. Dies sind einige mögliche Linearkombinationen:

$$\begin{eqnarray} (8, 9)&=&1\cdot(1, 3)+1\cdot(0, 4)+1\cdot(7, 2)\\ (22, 17)&=&1\cdot(1, 3)+2(0, 4)+3(7, 2)\\ (68, 38)&=&-2(1, 3)+6(0, 4)+10(7, 2)\\ (-\frac12, -\frac{43}{2})&=&-\frac12(1, 3)-5(0, 4)+0(7, 2)\\ \end{eqnarray}$$