Entfernung eines Punktes von einer Linie
Kapitoly: Entfernung eines Punktes von einer Linie, Entfernung eines Punktes von einer Ebene, Abstand von zwei Geraden
Der Abstand eines Punktes von einer Linie ist gleich dem Betrag des "kürzesten" Linienabschnitts, der von diesem Punkt zu dieser Linie gezogen wird.
Aufgabe
Wir haben eine Linie p und einen Punkt A, der nicht auf dieser Linie liegt. Wir interessieren uns für den Abstand des Punktes A von der Geraden p. Als Beispiel nehmen wir die durch die allgemeine Gleichung p: −x + 2y − 12 = 0 gegebene Gerade und den Punkt A[6,4]:
Der Abstand des Punktes von der Linie ist dann gleich dem Betrag der Linie AB, wobei die Linie AB senkrecht auf der Linie p steht und der Punkt B auf der Linie p liegt. Wir bezeichnen die Linie AB als q.
Lösung mit Hilfe der Formel
Wenn Sie nichts ableiten und keine "komplizierten" Berechnungen durchführen wollen, können Sie sich die Formel einfach merken. Für den Punkt A[a1, a2] und die Linie p, die durch die allgemeine Gleichung p: ax + by + c = 0 gegeben ist, ist der Abstand des Punktes A von der Linie p gleich:
$$ v(A, p) = \frac{|a\cdot a_1 + b \cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
Wir können die Formel auf das vorherige Beispiel anwenden. Hinzufügen:
\begin{eqnarray} v(A, p) &=& \frac{|-1\cdot6+2\cdot4-12|}{\sqrt{(-1)^2+2^2}} &=&\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ &=&\frac{10\cdot\sqrt{5}}{5}=2\cdot\sqrt{5}\\ &\approx&4,4721 \end{eqnarray}
Verfahren zur Berechnung der Schnittpunktskoordinate
Alternativ können wir versuchen, die Koordinaten des Punktes B zu berechnen. Der Abstand des Linienabschnitts AB ergibt sich dann einfach durch den Betrag der Vektoren oder den Satz des Pythagoras. Dazu können wir die Gleichung der Linie q verwenden. Aus der allgemeinen Gleichung der Linie p können wir sofort den Normalenvektor der Linie p ableiten, der gleich $\vec{\mathbf{n}}=(-1, 2)$ ist. Da die Linien p und q senkrecht zueinander stehen, bedeutet dies, dass, wenn wir einen Vektor $\vec{\mathbf{m}}$ nehmen, der senkrecht zum Vektor $\vec{\mathbf{n}}$ steht, dieser Vektor $\vec{\mathbf{m}}$ der Normalenvektor der Linie q sein wird.
Ein solcher senkrechter Vektor ist z.B. der Vektor $\vec{\mathbf{m}}=(2, 1)$ (man kann dies z.B. durch ein Skalarprodukt überprüfen). Die Gerade q hat also die allgemeine Gleichung
$$ q: 2x+y+c=0 $$
Wir berechnen den Koeffizienten c, indem wir nach x und y die Koordinaten eines Punktes einsetzen, der mit Sicherheit auf der Geraden liegt. In unserem Fall ist dies der Punkt A[6,4]. Wir erhalten:
\begin{eqnarray} 2x+y+c&=&0\\2\cdot6+4+c&=&0\c&=&-16 \end{eqnarray}
Die gesamte allgemeine Gleichung der Linie q hat die Form:
$$ q: 2x+y-16=0 $$
Nun wollen wir den Schnittpunkt der beiden Geraden finden. Wir finden den Schnittpunkt, indem wir die Gleichungen der beiden Geraden in das Gleichungssystem einsetzen und es lösen:
\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}
Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 2 und lassen Sie die zweite Gleichung unverändert:
\begin{eqnarray} -2x+4y-24&=&0\\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}
Addiere die beiden Gleichungen:
\begin{eqnarray} -2x+4y-24+(2x+y-18)&=&0\\4y+y-24-18&=&0\5y&=&40\y&=&8 \end{eqnarray}
yDie -Koordinate des Punktes B ist y = 8. Dieser Wert wird in eine Gleichung eingesetzt, zum Beispiel −x + 2y − 12 = 0:
\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\\\ -x+2\cdot8-12&=&0\\\ -x+4&=&0\\\ x&=&4 \end{eqnarray}
Der Punkt B hat die Koordinaten B[4, 8]. Jetzt kennen wir die Koordinaten der beiden Punkte. Es ist einfach, die Größe des Liniensegments zu berechnen. Wir können einen Vektor $\vec{AB}$ aus dem Linienabschnitt AB erzeugen und die Größe dieses Vektors berechnen.
$$ \vec{AB} = B-A=[4, 8] - [6, 4] = [-2, 4] $$
Die Größe des Vektors (−2, 4) ist dann gleich:
$$ |\vec{AB}|=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\cdot\sqrt{5}\approx4{,}4721 $$