Entfernung eines Punktes von einer Ebene
Kapitoly: Entfernung eines Punktes von einer Linie, Entfernung eines Punktes von einer Ebene, Abstand von zwei Geraden
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist gleich der Größe des "kürzesten" Liniensegments, das von diesem Punkt zur Ebene gezogen wird.
Zuweisung
Wir haben eine Ebene, die durch die allgemeine Gleichung r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 gegeben ist, und einen Punkt X[5, 7, 2]. Wir fragen, wie groß der Abstand des Punktes X von der Ebene r ist:
In der Abbildung haben wir eine Ebene ABCD und einen Punkt X. Die Größe des Linienabschnitts XF bestimmt dann den Abstand des Punktes X von der Ebene. Diese Linie steht wiederum senkrecht auf der Ebene, ist also der kürzeste Abstand des Punktes zur Ebene. (Die Abbildung zeigt weder die Ebene r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 noch den Punkt X[5, 7, 2], sondern nur den Abstand des Punktes von der Ebene im Allgemeinen).
Lösung mit der Formel
Wir können ziemlich genau dieselbe Formel verwenden, wie wir sie bei der Berechnung des Abstands eines Punkts zu einer Geraden verwendet haben, fügen nur eine weitere Dimension hinzu. Wir berechnen also den Abstand zwischen dem Punkt X[x1, x2, x3] und der Ebene r: ax + by + cz + d = 0 als
$$ v(X, r) = \frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$