Abstand von zwei parallelen Linien
Kapitoly: Entfernung eines Punktes von einer Linie, Entfernung eines Punktes von einer Ebene, Abstand von zwei Geraden
Wir können einen Abstand zwischen zwei parallelen Linien in einer Ebene definieren.
Aufgabe
Wir haben zwei parallele Linien, p: −x +3y − 16 = 0 und q: −x + 3y − 4 = 0. Wie kann man den Abstand zwischen diesen beiden Linien bestimmen?
Wir können den Abstand solcher Linien leicht auf den Abstand eines Punktes von der Linie reduzieren. Wählen Sie einfach einen Punkt auf einer der Linien und berechnen Sie dann den Abstand dieses Punktes von der anderen Linie.
Wir können einen Punkt auf der Linie q A[8, 4] wählen. Indem wir q in die Gleichung der Linie einsetzen, können wir überprüfen, dass es sich tatsächlich um einen Punkt auf dieser Linie handelt:
\begin{eqnarray} -x + 3y - 4 &=& 0\\ -8 + 3\cdot4 - 4 &=& 0\ -8+12-4 &=& 0\ 0 &=& 0 \end{eqnarray}
Nun berechnen wir den genannten Abstand des Punktes A von der Linie p. Hierfür haben wir die Formel
\begin{eqnarray} v(A, p) &=& \frac{|a\cdot a_1 + b \cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{eqnarray}
Wir addieren also einfach:
\begin{eqnarray} v(A, p) &=& \frac{|a\cdot a_1 + b \cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\ v(A, p) &=& \frac{|-1\cdot 8 + 3 \cdot 4-16|}{\sqrt{(-1)^2+3^2}}\&& \frac{12}{\sqrt{10}}\ca. 3.795 \end{eqnarray}