Was ist eine Gleichung
Eine Gleichung ist eines der grundlegenden Konzepte in der Mathematik und eines der Mittel, mit denen die gesamte Mathematik funktioniert.
Einführendes Beispiel
Eine Gleichung hat eine linke Seite, dann ein Gleichheitszeichen und eine rechte Seite. Eine triviale Gleichung könnte wie folgt aussehen:
$$x=2$$
Auf der linken Seite steht die Variable x, gefolgt von einem Gleichheitszeichen, und auf der rechten Seite steht die Zahl 2. Diese Gleichung ist einfach und besagt, dass der Wert der Variablen x gleich zwei ist. Die Variable x steht dann in der Regel für etwas, nach dem wir suchen. Das kann zum Beispiel die Anzahl der Knöpfe an einem Hemd oder das Gehalt eines Angestellten sein.
Eine Gleichung in dieser Form ist jedoch etwas, wonach wir suchen, und nicht etwas, das in der Beispielspezifikation enthalten ist. In der Praxis haben wir es mit einer komplizierteren Gleichung zu tun, z. B. wird uns gesagt, wie viel fünf Angestellte insgesamt verdienen, und unsere Aufgabe besteht darin, herauszufinden, wie viel ein Angestellter verdient (unter der Annahme, dass sie alle gleich viel verdienen).
Wir wissen zum Beispiel, dass fünf Lehrer insgesamt 120.000 Kronen pro Monat verdienen. Wie viel verdient ein einzelner Lehrer? Stellen wir die Gleichung wie folgt auf: Wir bezeichnen das Gehalt eines Lehrers als x. So erhalten wir die Gleichung:
$$5x=120 000$$
Diese Gleichung ist die mathematische Schreibweise der Aufgabe "Fünf Lehrer haben ein Gesamtgehalt von 120 000". Unser Ziel ist es, das Gehalt eines Lehrers zu ermitteln, d. h. den Wert von x = ? zu bestimmen. Wir gehen ein wenig vor und verwenden eine Äquivalenzgleichung und teilen die Gleichung durch fünf. Wenn fünf Lehrer ein Gehalt von 120 000 erhalten, dann wird ein Lehrer fünfmal weniger bezahlt. Daraus ergibt sich, dass
$$x=120 000 / 5$$
und nach Teilung durch
$$x=24 000.$$
Die Definition der Gleichung
Um das Konzept einer Gleichung zu definieren, müssen wir wissen, was eine Funktion ist. Wenn wir die Funktionen kennen, dann können wir uns eine Gleichung als die Gleichheit zweier Funktionen vorstellen:
$$f(x)=g(x)$$
Dies ist die allgemeine Schreibweise für eine Gleichung mit einer Unbekannten. Auf der linken Seite haben wir die Funktion f und auf der rechten Seite die Funktion g. Unsere Aufgabe ist es, die Wurzeln der Gleichung zu finden, d. h. die Werte von x, für die die Funktionen f und g denselben Wert haben.
Wir wollen also die bestimmten Werte von x, ich nenne sie x1, finden, für die die
$$f(x_1)=g(x_1)$$
Nehmen wir die Gleichung 2x = −4x + 6 zur Hilfe. Dann würden f(x) = 2x und g(x) = −4x + 6 gelten. Wir suchen nach solchen x, für die die Funktion f den gleichen Wert hat wie die Funktion g. Wenn wir die Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzanpassungen lösen, erhalten wir:
$$\begin{eqnarray} 2x&=&-4x+6\\ 2x+4x&=&-4x+4x+6\\ 6x&=&6\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$
Die Gleichung ergibt den Wert x = 1. Für diesen Wert sollten beide Funktionen den gleichen Wert liefern. Wenn wir die Funktion f mit einer Eins aufrufen, erhalten wir
$$f(1)=2\cdot1=2$$
Die Funktion f hat am Punkt zwei einen Wert von zwei. Was ist mit der Funktion g? Rufen wir sie mit einer Eins auf:
$$g(1)=-4\cdot1+6=-4+6=2$$
Wir sehen, dass wir wieder eine Zwei erhalten. Die Zahl eins ist also die Wurzel der Gleichung. Sie ist auch die einzige Wurzel der Gleichung im Bereich der reellen Zahlen. Wenn wir die Funktion mit einem anderen Wert aufrufen, erhalten wir andere Ergebnisse. Zum Beispiel würden wir für fünf erhalten:
$$\begin{eqnarray} f(5)&=&2\cdot5=10\\ g(5)&=&-4\cdot5+6=-20+6=-14 \end{eqnarray}$$
Grafische Bedeutung
Die Lösungen der Gleichung haben eine schöne und offensichtliche grafische Bedeutung. Zeichnet man nämlich die Graphen der Funktionen, die auf der linken und rechten Seite der Gleichung auftreten, so schneiden sich diese Graphen genau an den Punkten, an denen die Gleichung eine Lösung hat.
Kehren wir zu der Gleichung 2x = −4x + 6 zurück. Die Funktion auf der linken Seite ist f(x) = 2x und die Funktion auf der rechten Seite ist g(x) = −4x + 6. Wir wissen, dass die Wurzel dieser Gleichung der Wert x = 1 ist. Es sollte also wahr sein, dass sich diese Funktionen im Punkt zwei schneiden. Die folgende Abbildung zeigt die Graphen der beiden Funktionen:
Man sieht, dass sich die Linien in einem Punkt schneiden, und dieser Punkt hat die Koordinaten [1,2]. Die erste Koordinate ist der Wert von x, der Wurzel der Gleichung. Der zweite Wert ist der Wert von y, der resultierende Wert beider Funktionen, wenn man sie mit einer Eins aufruft.
Die Lösung der Gleichung sind also alle Punkte, in denen sich die Funktionen auf der linken und rechten Seite schneiden. Häufig werden Gleichungen so umgestellt, dass die Gleichung auf der rechten Seite gleich Null ist, d. h. die konstante Funktion g(x) = 0. Dann lösen wir, wenn die Funktion auf der linken Seite die Achse x schneidet. Wir können die vorherige Gleichung 2x = −4x + 6 wie folgt abändern, so dass die rechte Seite gleich Null ist:
$$\begin{eqnarray} 2x&=&-4x+6\\ 6x&=&6\\ 6x-6&=&0 \end{eqnarray}$$
Wenn wir den Graphen der Funktion auf der linken Seite zeichnen...
stellen wir fest, dass der Graph die Achse x im Punkt 1 schneidet. Wir sehen, dass wir auch dann, wenn wir die Gleichung so abändern, dass sie auf der rechten Seite Null ist, dasselbe Ergebnis erhalten - wieder Eins.
Die Anzahl der Lösungen der Gleichung
Aus der grafischen Interpretation von Gleichungen können wir ableiten, wie viele verschiedene Lösungen eine Gleichung haben kann. Wir können leicht Fragen beantworten wie - hat jede Gleichung eine Lösung? Kann eine Gleichung mehr als eine Lösung haben? Kann eine Gleichung unendlich viele Lösungen haben?
Keine Lösungen
Fangen wir der Reihe nach an. Gibt es eine Gleichung, die keine Lösung hat? Wir reduzieren dies auf eine Frage: Gibt es zwei Graphen von Funktionen, die sich nie schneiden? Natürlich gibt es sie. Bleiben wir bei linearen Gleichungen mit geraden Linien als Graphen, dann nehmen wir einfach Linien, die parallel sind. Ein Beispiel:
$$x+1=x+2$$
Mit gesundem Menschenverstand können wir ableiten, dass x + 1 niemals gleichzeitig gleich x + 2 sein kann. Wenn wir den Graphen zeichnen, erhalten wir:
Wir sehen, dass die Funktionen parallele Geraden sind, die sich nie schneiden. Die Gleichung, die wir aufgestellt haben, hat also keine Lösung. Wir können die Gleichung wie folgt abändern:
$$\begin{eqnarray} x+1&=&x+2\\ x-x&=&2-1\\ 0x&=&1\\ 0&\ne&1 \end{eqnarray}$$
Wir sehen, dass die Gleichung wirklich keine Lösung hat.
Wir können uns viele andere Gleichungen vorstellen, die keine Lösung haben, zum Beispiel die Gleichung x2 = x − 1. Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich nie:
Weitere Lösungen
Kann eine Gleichung mehr als eine Lösung haben? (Aber immer noch weniger als unendlich.) Wiederum reduziert sich dies auf die Frage: Gibt es zwei Graphen von Funktionen, die eine endliche Anzahl von Schnittpunkten haben, und die Anzahl der Schnittpunkte ist auch größer als zwei?
Es gibt sie mit Sicherheit. Im vorigen Kapitel hatten wir als letztes Beispiel eine Gleichung mit einer quadratischen und einer linearen Funktion. Wir können den vorherigen Graphen ändern, indem wir die Linie so verschieben, dass sie den Graphen der quadratischen Funktion in genau zwei Punkten schneidet. Nehmen Sie einfach die Funktion y = x anstelle von y = x − 1.
Wir können sehen, dass sich die Graphen in zwei Punkten schneiden. Wir können die Gleichung wie folgt lösen:
$$\begin{eqnarray} x^2&=&x\\ x^2-x&=&0\\ x\cdot(x-1)&=&0\\ x_1&=&0\\ x_2&=&1 \end{eqnarray}$$
Unendlich viele Lösungen
Gibt es Gleichungen, die unendlich viele Lösungen haben? Das heißt, gibt es zwei Graphen, die sich in unendlich vielen Punkten schneiden? Ja, die gibt es. Nehmen Sie einfach eine periodische Funktion und verschachteln Sie sie mit einer Geraden auf eine geeignete Weise. Eine typische periodische Funktion ist der Sinus. Der Sinus hat einen Wertebereich im Intervall <−1, 1> und wiederholt sich periodisch in diesem Bereich.
Setzen Sie also einfach sin(x) = a ein, wobei a aus dem Wertebereich stammen wird. Ein konkretes Beispiel könnte wie folgt aussehen: sin(x) = 0,5 Graphen von Funktionen:
In der Abbildung ist zu sehen, dass die Gerade den Sinus in mehreren Punkten schneidet. Da der Sinus sowohl rechts als auch links wellenförmig weiterläuft, schneidet die Linie den Sinus sowohl rechts als auch links noch unendlich oft.
Die gleichen Funktionen in der Gleichung
Kann es eine Situation geben, in der wir jeden beliebigen Wert aus dem Definitionsbereich der Funktionen nach x einsetzen können und die Gleichung trotzdem gültig ist? Dies ist nur dann der Fall, wenn die beiden Funktionen gleich sind oder wenn wir eine Funktion an die andere anpassen können. Also ein Beispiel:
$$2x+4=2\cdot(x+2)$$
Auf den ersten Blick haben wir unterschiedliche Funktionen auf jeder Seite, aber wenn wir die Klammern auf der rechten Seite multiplizieren, erhalten wir die gleichen Funktionen:
$$2x+4=2x+4$$
Eine solche Gleichung hat eine Lösungsmenge, die gleich dem Definitionsbereich der Funktionen ist, also ist die Lösungsmenge gleich der Menge der reellen Zahlen. Eine solche Gleichung kann in die Form 0 = 0 umgewandelt werden.
$$\begin{eqnarray} 2x+4&=&2x+4 \qquad/-2x\\ 4&=&4 \qquad /-4\\ 0&=&0 \end{eqnarray}$$