Goniometrische Gleichungen

Goniometrische Gleichungen sind Gleichungen, die eine goniometrische Funktion enthalten, d. h. einen Sinus, Kosinus, Tangens oder Kotangens.

Die grundlegende goniometrische Gleichung

Betrachten Sie die Gleichung sin x = 0. Für welche x ist diese Gleichung gültig? Wann ist der Sinus gleich Null? Schauen wir uns zunächst den Graphen an:

Wir stellen fest, dass sin x ziemlich oft gleich Null ist. Vor allem für die Werte von −π, 0, π, 2π und viele andere. Da der Sinus eine periodische Funktion ist, gibt es regelmäßige Intervalle zwischen den Lösungen der Gleichung - in diesem Fall Intervalle der Länge π. Daher kann die Menge aller Lösungen dieser Gleichung als eine Menge geschrieben werden, nennen wir sie R, die wir wie folgt definieren:

$$ R = {K\cdot\pi | K \in \mathbb{Z}} $$

Es sind also alle K-Faltungen von Pi, wobei K eine ganze Zahl ist. Damit haben wir die Menge aller Lösungen der Gleichung sin x = 0 beschrieben.

Erinnern wir uns daran, dass Sinus und Kosinus einen Wertebereich auf dem Intervall <−1, 1> haben, so hat die Gleichung sin x = 2 keine Lösung, da wir keine x finden können, für die der Ausdruck sin x einen Wert größer als 1 hätte. Natürlich hat die Gleichung 3 · sin x = 2 bereits eine Lösung, denn wir können den gesamten Ausdruck durch drei teilen und die Zahl auf der rechten Seite ist bereits kleiner als eins. Wir suchen also die Wurzel der Gleichung sin x = 2/3.

Berechnung eines einfachen Beispiels

Wir lösen einfache goniometrische Gleichungen, indem wir den Wert z. B. aus einem Diagramm oder dem Einheitskreis ablesen und die Periode finden, die wir zum Ergebnis addieren. Lösen Sie zum Beispiel die Gleichung

$$ \sin x = \frac12 $$

Wir haben den Graphen der Sinusfunktion oben, also schauen wir, wann die Kurve den Wert $\frac12$ hat. Wir stellen fest, dass dies bei 1/6π und 5/6π der Fall ist. Ich empfehle dringend, die grundlegenden Tabellenwerte goniometrischer Funktionen zu lernen, denn ohne sie hilft auch ein Blick auf den Graphen nicht weiter.

Nun müssen wir die Periode bestimmen, damit wir wissen, wie wir die Menge aller Lösungen konstruieren können. Die Sinusfunktion hat eine Periode von 2π - wenn du dir den Graphen ansiehst, wirst du sehen, dass die Funktion jedes Mal nach 2π zu wiederholen beginnt.

Wenn es also eine Lösung der Gleichung 1/6π gibt, dann muss jede Zahl 1/6π + 2Kπ, wobei K eine ganze Zahl ist, eine Lösung der Gleichung sein, da die Sinusfunktion an diesem Punkt denselben Funktionswert hat. Das 2K zeigt nur an, dass wir nur gerade ganze Zahlen wollen. Wenn Sie eine beliebige ganze Zahl hinter K setzen und mit zwei multiplizieren, erhalten Sie eine gerade Zahl. Genau dasselbe gilt für die andere Wurzel, 5/6π. An den Punkten 5/6π, 5/6π + 14π und 5/6π − 82π hat die Funktion sin x denselben Funktionswert, so dass alle 5/6π + 2Kπ die Gleichung lösen werden.

Schreiben Sie die resultierende Menge R, die die Vereinigung der beiden vorherigen Ergebnisse ist:

$$ R = \left\{\frac16\pi+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{\frac56\pi+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

Grafisch könnte man die Lösung als Schnittpunkt der Graphen der Funktion sin x (roter Graph) und der Funktion $y = \frac12$ (grüner Graph) darstellen.

Wenn wir zum Beispiel K = 0 nach K setzen, erhalten wir die Lösung:

$$\begin{eqnarray} x_1 &=& \frac16\pi+2K\pi = \frac16\pi+2\cdot0\cdot\pi=\frac16\pi\\ x_2 &=& \frac56\pi+2K\pi = \frac56\pi+2\cdot0\cdot\pi=\frac56\pi \end{eqnarray}$$

Das sind x₁ = 1/6π und x₂ = 5/6π. In der Abbildung sind die entsprechenden Punkte B und C, da ihre x-Koordinaten nur 1/6π bzw. 5/6π sind. Wenn wir K = 1 ersetzen, erhalten wir die Punkte D und E.

Ersetzen von

Wenn wir einen komplexeren Ausdruck in einer Funktion haben, können wir die Substitution oder die Ersetzung verwenden. Wenn wir z. B. das Ergebnis der Gleichung sin 2x = 1 berechnen wollen, setzen wir a = 2x ein (substituieren) und berechnen dann die Gleichung in der Form sin a = 1, so wie wir es im vorherigen Kapitel gezeigt haben. Bei der Substitution werden normalerweise die Argumente einer Funktion, in diesem Fall 2x, genommen und durch eine andere Unbekannte ersetzt. Wir können der Funktion einen beliebigen Namen geben, hier haben wir den Namen a gewählt. Wir könnten einfach q = 2x oder pomeranč = 2x ersetzen und dann sin pomeranč = 1 schreiben.

Die Substitution vereinfacht also den Ausdruck, den wir gerade berechnen. Mit der Tatsache, dass der Ausdruck a eigentlich gleich 2x ist, werden wir uns später beschäftigen.

Jetzt lösen wir die Gleichung sin a = 1, wobei a die Unbekannte ist. Wir suchen also, wann der Sinus gleich eins ist. Es stellt sich heraus, dass der Sinus gleich eins ist, wenn π/2 + 2Kπ. Die Wurzeln von sin a = 1 sind also die Werte der Menge

$$ R = \left\{\frac{\pi}{2}+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\}. $$

Schließlich müssen wir uns noch an unsere Substitution erinnern - wir müssen sie rückgängig machen. Wir wissen, dass die Lösung von sin a = 1 die Elemente der vorherigen Menge R sind. Aber wir wollen die Lösung einer anderen Gleichung wissen, sin 2x = 1. Wir wissen aber, dass a = 2x.

Wir versuchen, eine bestimmte Lösung aus der Menge der Lösungen R zu nehmen, zum Beispiel für K = 1 erhalten wir eine bestimmte Lösung a = π/2 + 2π. An diesem Punkt hat die Gleichung sin a = 1 eine Lösung. Da a = 2x, ist es auch wahr, dass 2x = π/2 + 2π (wir haben 2x statt a geschrieben).

Aber wir sind nicht an 2x interessiert, sondern an dem Wert von x, also teilen wir die ganze Gleichung durch zwei. So erhalten wir die Gleichung x = π/4+π. Wir haben also eine bestimmte Lösung der Gleichung sin 2x = 1 erhalten.

Wenn wir alle Lösungen erhalten wollen, müssen wir diese Modifikation mit allen Elementen der Menge R durchführen. Wir konstruieren die Gleichung wie folgt:

$$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2K\pi $$

und isolieren x, was bedeutet, dass wir die gesamte Gleichung durch zwei teilen:

$$ x = \frac{\pi}{4} + K\pi $$

Dies ist die resultierende Lösung. Wir schreiben sie als neue Menge R' auf:

$$ R' = \left\{\frac{\pi}{4} + K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

Auch hier können wir die Korrektheit der Lösung grafisch überprüfen. Das Rote ist der Graph der Funktion sin 2x und das Grüne ist die Funktion y = 1.

Wenn wir K = 0 nach K ersetzen, erhalten wir x = π/4, was den Punkt C darstellt. Wenn wir K = 2 ersetzen, erhalten wir x = π/4 + 2π, was den Punkt E darstellt.

Die Formel

Beim Addieren mit goniometrischen Gleichungen wird häufig eine Reihe von Formeln verwendet, die Sie kennen sollten. Einige sind einfach, andere sind komplizierter. Die goniometrischen Formeln sind auf eine eigene Seite umgezogen, also schauen Sie dort nach.

Beispiele

1. Lösen Sie die Gleichung sin (3x−π/2) = 0.

   Verwenden Sie die einfache Substitution a = 3x−π/2, um die Gleichung sin a = 0 zu lösen. Wir wissen bereits, dass der Sinus für a = Kπ gleich Null ist. Wir setzen also die Substitution zurück und berechnen die Gleichung:

   $$ 3x-\frac{\pi}{2} = K\pi $$

   Zuerst wandeln wir π/2 in die linke Seite um, d.h. wir fügen π/2 zur Gleichung hinzu:

   $$ 3x = K\pi + \frac{\pi}{2} $$

   Nun dividieren wir die Gleichung durch drei:

   $$ x = \frac{K\pi}{3} + \frac{\pi}{6} $$

   Das Ergebnis ist also die Menge R₁, die wie folgt definiert ist:

   $$ R_1 = \left\{\frac{K\pi}{3} + \frac{\pi}{6}|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Abbildung erneut:

   

   Für K = 1 erhalten wir x = π/3 + π/6 = π/2, d. h. den Punkt E.

2. Lösen Sie die Gleichung cos²x − sin x = 1.

   Zunächst verwenden wir die Formel und zerlegen cos² x in 1 − sin² x. Wenn wir sie in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:

   $$\begin{eqnarray} 1-\sin^2x-\sin x &=& 1\\ \sin^2x+\sin x &=& 0 \end{eqnarray}$$

   Nun zeichnen wir sin x ein:

   $$ \sin x (\sin(x) + 1) = 0 $$

   Da wir die linke Seite der Gleichung in Produktform erhalten haben und auf der rechten Seite die Null steht, lösen wir die Gleichungen sin x = 0 und sin(x) + 1 = 0 getrennt, da die gesamte linke Seite Null ist, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

   Die Gleichung sin x = 0 haben wir bereits mehrfach gelöst, die Lösung ist x in der Form Kπ, wobei K eine ganze Zahl ist.

   Wir wandeln die zweite Gleichung, sin(x) + 1 = 0, in die Gleichung sin(x) = −1 um. Der Sinus ist gleich minus eins für die Werte von 3/2π + 2Kπ.

   Alle Elemente der sich ergebenden Menge R₂ werden dann durch Vereinigung erhalten.

   $$ R_2 = \left\{\frac32\pi + 2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Abbildung:

   

   Wir sehen, dass die Punkte A, C, D und F x -Koordinaten haben, die ein Vielfaches von π sind, so dass diese Punkte durch die rechte Menge in der vorherigen Vereinigung beschrieben werden. Und wenn wir den Wert K = 0 für K in der linken Menge in der Vereinigung ersetzen, erhalten wir x = 3π/2, was dem Punkt E entspricht, und wenn wir K = −1 ersetzen, erhalten wir x = 3π/2 − 2π = π/2, was dem Punkt B entspricht.

3. Berechnen Sie die Gleichung cos² x − sin²x + cos x = 0.

   In einem ersten Schritt wenden wir die Formel sin²x = 1−cos²x an und zerlegen den Sinus im Quadrat:

   $$\begin{eqnarray} \cos^2x-(1-\cos^2x)+\cos x = 0\\ \cos^2x -1+\cos^2x+\cos x = 0\\ \end{eqnarray}$$

   Im nächsten Schritt addieren wir ihn:

   $$ 2\cos^2x+\cos x-1=0 $$

   Schließlich führen wir die Substitution a = cos x durch.

   $$ 2a^2+a-1=0 $$

   Wir lösen dies bereits als einfache quadratische Gleichung. Ergebnis:

   $$ a_1 = -1, a_2=\frac12 $$

   Schließlich machen wir die Substitution rückgängig und lösen das Gleichungspaar cos x = −1 und $\cos x = \frac12$ und vereinheitlichen die resultierenden Mengen. Diese Gleichung ist bereits einfach und wir haben sie bereits oben gelöst.

4. Lösen Sie die Gleichung sin²x−cos²x = 1.

   Zunächst wenden wir die klassische Formel an und drücken den Kosinus in Form des Sinus aus. Wir erhalten:

   $$ 2\sin^2x=2 $$

   Dividiere durch zwei und ziehe eins ab:

   $$ \sin^2x-1=0 $$

   Nun wenden wir die Formel a² − b² = (a − b)(a + b) an:

   $$ (\sin(x) - 1)\cdot(\sin(x) + 1) = 0 $$

   Das Produkt zweier Terme ist Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist. Wir wissen bereits, wann sin x = 1 und sin x = −1. Die Lösung der goniometrischen Gleichung lautet:

   $$ R_4 = \left\{\pi/2+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{3\pi/2+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} = \left\{\pi/2+K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Abbildung: