Exponentialgleichungen

Eine gewöhnliche Gleichung wird zu einer Exponentialgleichung, wenn sie eine Variable im Exponenten enthält. Im Allgemeinen könnte man eine Exponentialgleichung wie folgt schreiben: $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, wobei a, b>0. Ein typisches Beispiel für eine Exponentialgleichung wäre 2^x = 8. Hier ist es ganz offensichtlich, dass das Ergebnis die Zahl drei ist, denn zwei mal drei ist acht. Und nun folgt ein etwas mathematischeres Verfahren.

Eine einfache Exponentialgleichung

Wenn wir eine Exponentialgleichung lösen wollen, ist es sehr praktisch, wenn wir die Gleichung in die Form $a^{f(x)} = b^{g(x)}$ bringen können, wobei a = b. Denn es ist offensichtlich, dass bei gleichen Basen die Potenzen gleich sind, wenn auch die Exponenten gleich sind. Wir berechnen also nur die Gleichung f(x) = g(x). Wir können das vorherige Beispiel wie folgt abändern: Wir subtrahieren die achte Potenz 2^x = 2³ und erhalten dann die gleichen Basen, also setzen wir nur die beiden Exponenten in die Gleichung ein und erhalten das Ergebnis x = 3. Wir können das Beispiel schwieriger gestalten, zum Beispiel: 2^2x = 8 und nach der Änderung erhalten wir wieder 2^2x = 2³ und berechnen 2x = 3, das Ergebnis ist 1,5.

Ein weiterer einfacher Fall tritt auf, wenn sich auf einer Seite der Gleichung eine Eins befindet. Betrachten Sie dieses Beispiel:

$$5^{3x-2} = 1$$

Es sieht kompliziert aus, aber wenn man die grundlegenden Beziehungen zwischen Potenzen kennt, weiß man, dass man die Eins nur auf zwei Arten erhalten kann - entweder ist die Basis gleich Eins und dann eine Eins auf einem beliebigen Exponenten ergibt wieder Eins, oder der Exponent ist Null - alles bis Null ist wieder Eins. Wir verwenden natürlich die zweite Eigenschaft und schreiben die vorherige Gleichung wie folgt um: 5^{3x − 2} = 5⁰. Jetzt haben wir die Gleichung in eine Form gebracht, die wir bereits lösen können (siehe vorheriger Absatz). Vergleichen Sie einfach die Exponenten. Hier kommt die Gleichung 3x − 2 = 0. Dies ist bereits eine triviale lineare Gleichung.

Logarithmieren einer Exponentialgleichung

Falls wir die Gleichung nicht in eine Form mit denselben Basen umwandeln können, können wir es mit der Logarithmusmethode versuchen. Unsere Vermieterin sagte immer: "Kinder, wenn ihr nicht wisst, wie es geht, dann logarithmiert es einfach!" Und sie hatte Recht. Wenn du eine Exponentialgleichung mit verschiedenen Basen hast und es nicht möglich (oder nicht effizient) ist, sie auf dieselbe Basis zu bringen, logarithmiere die gesamte Gleichung. Aus der ursprünglichen Gleichung

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

erhalten wir

$$\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}$$

und mit Hilfe der Formel für den Umgang mit Logarithmen erhalten wir

$$f(x)\cdot \log a = g(x)\cdot \log b.$$

Betrachten wir also dieses Beispiel

$$2^x\cdot5^{2x}=3^{x-2}$$

Die Basen sind nicht gleich und können nicht angepasst werden, also logarithmieren wir die gesamte Gleichung:

$$\log(2^x\cdot5^{2x})=\log(3^{x-2})$$

Nun wenden wir den Logarithmentheorem an und "multiplizieren" die erste Klammer

$$\log2^x+\log5^{2x}=\log 3^{x-2}$$

Nun wenden wir wieder den Satz über den Logarithmus an und "verschieben" den Exponenten vor den Logarithmus.

$$x\cdot\log2+2x\cdot\log5=(x-2)\log3$$

Multipliziere die rechte Seite der Gleichung:

$$x\cdot\log2+2x\cdot\log5=x\log3-2\log3$$

Wir werfen die Ausdrücke mit der Unbekannten auf die linke Seite der Gleichung:

$$x\cdot\log2+2x\cdot\log5-x\cdot\log3=-2\log3$$

Als nächstes geben wir xaus:

$$x(\log2+2\log5-\log3)=-2\log3$$

Wir isolieren x:

$$x=\frac{-2\log3}{\log2+2\log5-\log3}$$

Dies ist bereits das faktische Ergebnis. Wir können die Theoreme über Logarithmen erneut anwenden und 2log 5 in $\log 5^2 =\log 25$ umwandeln, aber das ist wirklich das letzte, was wir mit dem Ergebnis tun können.

Substitution

Wir können Exponentialgleichungen auch durch Substitution lösen. Wir wollen das an einem Beispiel zeigen:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Wir ersetzen zum Beispiel a durch den Wert a = 7^x. Nun ändern wir die ursprüngliche Gleichung, indem wir a nach 7^x einsetzen. Dies ist das Ergebnis der (nicht mehr exponentiellen) Gleichung:

$$a^2+a-6=0.$$

Es handelt sich um eine einfache quadratische Gleichung. Ihre Wurzeln sind die Zahlen 2 und −3.

Wir setzen nun diese Wurzeln in die Substitution a = 7^x ein. Also 2 = 7^x. Wir logarithmieren:

$$\log2=x\cdot\log 7$$

und isolieren:

$$x=\frac{\log 2}{\log 7}$$

Die zweite Wurzel brauchen wir nicht mehr zu substituieren, weil sie negativ ist - ihre Substitution würde uns den Logarithmus mit einer negativen Zahl liefern, was nicht möglich ist. Und das Ergebnis der Exponentialgleichung ist in der Welt.

Beispiele

Berechnen Sie die folgende Exponentialgleichung:

$$2^{3x-4} = 8^{2x + 1}.$$

Auf den ersten Blick sehen wir, dass die Basen auf beiden Seiten nicht gleich sind. Traurig. Aber auf den zweiten Blick können wir sehen, wie wir die Basen angleichen können, damit sie gleich sind. Anstelle einer Acht zählen wir einfach 2³, was gleich acht ist. Mit den Formeln, die ich oben angegeben habe, insbesondere der letzten, erhalten wir:

$$\begin{eqnarray} 2^{3x-4}&=&8^{2x + 1}\\ 2^{3x-4}&=&2^{3\cdot(2x+1)}\\ 2^{3x-4}&=&2^{6x+3} \end{eqnarray}$$

An diesem Punkt sind die Basen bereits gleich und wir können die einfache lineare Gleichung 3x − 4 = 6x + 3 berechnen:

$$\begin{eqnarray} 3x-4&=&6x+3\\ -3x&=&7\\ x&=&-\frac73 \end{eqnarray}$$

Berechnen Sie die folgende Exponentialgleichung:

$$5^x\cdot 2^x=100^{x-1}.$$

Hier sehen wir, wie üblich, dass die Basen nicht gleich sind. Aber wir ahnen wohl alle, dass sie sich irgendwie umrechnen werden. Wenden Sie die Formel für die Multiplikation von Potenzen mit demselben Exponenten auf die linke Seite an (die zweite Formel in der vorherigen Übersicht) und wenden Sie die gleiche Formel wie zuvor auf die rechte Seite an, so dass 100^{x − 1} 10^{2(x − 1)} entsteht:

$$\begin{eqnarray} 5^x\cdot2^x&=&100^{x-1}\\ 10^x&=&10^{2(x-1)}\\ 10^x&=&10^{2x-2} \end{eqnarray}$$

Und schon haben wir wieder die gleichen Grundlagen und können die klassische lineare Gleichung berechnen:

$$\begin{eqnarray} x&=&2x-2\\ -x&=&-2\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Berechnen Sie die Exponentialgleichung:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Wie immer müssen wir uns zunächst zur gleichen Basis vorarbeiten. Hier helfen wir uns, indem wir einen Ausruf machen und aus dem Ausdruck auf der linken Seite 3^x herausnehmen. Dann fügen wir den Ausdruck in Klammern hinzu und erhalten eine einfache Gleichung.

$$\begin{eqnarray} 3^x+3^{x+1}&=&108\\ 3^{x}(1+3^1)&=&108\\ 4\cdot3^x&=&108\\ 3^x&=&27 \end{eqnarray}$$

An diesem Punkt haben wir die linke Seite angepasst und es ist Zeit, die rechte Seite anzupassen. Wir sehen ganz deutlich, dass es sich um die dritte Potenz von drei handelt:

$$\begin{eqnarray} 3^x&=&27\\ 3^x&=&3^3 \end{eqnarray}$$

Nun bleibt nur noch der letzte Schritt - die Basen sind gleich, also setzen wir die Exponenten ein:

$$x=3$$

Berechnen Sie die folgende Exponentialgleichung:

$$4^{2x}-6\cdot4^{x}+8=0.$$

In diesem Fall werden wir versuchen, aus der Exponentialgleichung eine gewöhnliche quadratische Gleichung zu erhalten. Der beste Weg dazu ist die Substitution 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Wir haben nun eine gewöhnliche quadratische Gleichung, also berechnen wir die Diskriminante und die Wurzeln:

$$\begin{eqnarray} D&=&36-4\cdot8\\ a_{1{,}2}&=&\frac{(6\pm2)}{2}\\ a_1&=&4\\ a_2&=&2 \end{eqnarray}$$

Diese Teilergebnisse müssen wir noch in die Substitution einsetzen. Erstes Ergebnis:

$$\begin{eqnarray} 4^x&=&4\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Zweites Ergebnis:

$$\begin{eqnarray} 4^x&=&2\\ 4^x&=&4^{\frac12}\\ x&=&\frac12 \end{eqnarray}$$