Skalarprodukt

Das Skalarprodukt wird zwischen zwei Vektoren definiert und gibt die Beziehung zwischen dem Betrag der Vektoren und ihrem Winkel an.

Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt wird zwischen zwei Vektoren definiert. Wir bezeichnen es als das Normalprodukt, den Zentralpunkt: $\vec{\mathbf{u}} \cdot \vec{\mathbf{v}}$ Das Ergebnis eines Skalarprodukts ist eine reelle Zahl, kein Vektor. Wenn wir zwei Vektoren $\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2)$ und $\vec{\mathbf{v}}=(v_1, v_2)$ haben, dann ist ihr Skalarprodukt gleich:

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=u_1v_1+u_2v_2$$

Wenn mindestens einer der Vektoren $\vec{\mathbf{u}}$ und $\vec{\mathbf{v}}$ Null ist, definieren wir ihr Produkt wie folgt:

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=0$$

Was ist die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts? Für das Skalarprodukt von zwei Vektoren gilt gleichzeitig

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|\cdot\cos\alpha,$$

wobei α den Betrag der Winkel zwischen diesen Vektoren angibt. Mit dieser Formel lässt sich auf einfache Weise der Betrag des Winkels zwischen den beiden Vektoren ermitteln. Wenn wir den Kosinus aus dieser Formel isolieren, erhalten wir die Formel:

$$\cos\alpha=\frac{\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}}{|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Die Formel gilt in der Ebene. Wenn wir uns im Raum bewegen, müssen wir eine weitere Dimension hinzufügen. An diesem Punkt können wir die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts ableiten.

Wenn wir die Vektoren $\vec{\mathbf{u}}$ und $\vec{\mathbf{v}}$ skalar multiplizieren und das Ergebnis durch die Länge des Vektors $\vec{\mathbf{v}}$ teilen, erhalten wir die Länge des Linienabschnitts AD, die der Größe der Projektion des Vektors $\vec{\mathbf{v}}$ in die Richtung des Vektors $\vec{\mathbf{u}}$ entspricht.

Prüfung des rechten Winkels

Wir können das Skalarprodukt verwenden, um zu prüfen, ob der Winkel zwischen Vektoren gleich $90^{\circ}$ ist. Wann ist das Skalarprodukt gleich Null? Wenn wir uns die Formel ansehen...

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|\cdot\cos\alpha$$

stellen wir fest, dass das Produkt $|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|$ wahrscheinlich immer ungleich Null sein wird (wir definieren den Winkel zwischen Nullvektoren nicht, also haben wir es jetzt nur mit Vektoren zu tun, die ungleich Null sind). Die Beträge der Vektoren werden immer positiv sein, ebenso wie ihr Produkt. Der einzige Ausdruck, der den gesamten Ausdruck auf Null bringen kann, ist der Kosinus. Wann ist der Kosinus gleich Null? Wenn der Winkel gleich $90^{\circ}$ ist (oder $270^{\circ}$ - aber der rechte Winkel liegt auf der anderen Seite). Es stimmt also, dass Vektoren nur dann einen rechten Winkel bilden, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

Beispiel: Betrachten Sie die folgenden drei Vektoren: $\vec{\mathbf{u}}_1=(-2, 4), \vec{\mathbf{u}}_2=(2, 1), \vec{\mathbf{u}}_3=(1, 4)$. Welche von ihnen stehen senkrecht zueinander? Berechnen Sie das Skalarprodukt aller Vektoren nacheinander: Hallo

$$\begin{eqnarray} \vec{\mathbf{u}}_1\cdot \vec{\mathbf{u}}_2=-2\cdot2+4\cdot1&=&0\\ \vec{\mathbf{u}}_1\cdot \vec{\mathbf{u}}_3=-2\cdot1+4\cdot4&=&14\\ \vec{\mathbf{u}}_2\cdot \vec{\mathbf{u}}_3=2\cdot1+1\cdot4&=&6 \end{eqnarray}$$

Nach dem Skalarprodukt besteht nur zwischen den Vektoren $\vec{\mathbf{u}}_1$ und $\vec{\mathbf{u}}_2$ ein rechter Winkel. Sie können ein Bild mit diesen Vektoren sehen:

Versuchen wir noch, den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{\mathbf{u}}_1$ und $\vec{\mathbf{u}}_3$ zu berechnen. Setzen Sie einfach die Formel ein:

$$\begin{eqnarray} \cos\alpha&=&\frac{-2\cdot1+4\cdot4}{\sqrt{(-2)^2+4^2}\cdot\sqrt{1^2+4^2}}\\ &=&\frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{17}}\\ &=&\frac{14}{\sqrt{340}}\\ &\approx&\frac{14}{18.439} \end{eqnarray}$$

Wenn wir den Arcuskosinus berechnen, erhalten wir den Betrag des Winkels. Das Ergebnis ist ein Winkel, der ungefähr die Größe von $40^{\circ}$ hat.