Vektorprodukt

Ein Vektorprodukt ist eine einfache Operation zwischen zwei Vektoren, die einen neuen Vektor liefert, der senkrecht zu den beiden Vektoren steht.

Was ist ein Vektorprodukt?

Ein Vektorprodukt ist zwischen zwei Vektoren und nur im Raum definiert. Das Ergebnis eines Vektorprodukts ist, anders als ein Skalarprodukt, wieder ein Vektor. Das Ergebnis des Vektorprodukts der Vektoren $\vec{\mathbf{u}}$ und $\vec{\mathbf{v}}$ ist der Vektor $\vec{\mathbf{w}}$, der die folgenden Eigenschaften hat:

$$|\vec{\mathbf{w}}|=|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|\cdot\sin\alpha,$$

Dabei ist α der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{\mathbf{u}}$ und $\vec{\mathbf{v}}$. Außerdem steht der Vektor $\vec{\mathbf{w}}$ senkrecht auf den beiden Vektoren $\vec{\mathbf{u}}$ und $\vec{\mathbf{v}}$. Die resultierende Richtung folgt dann der Rechtsregel. Um das Vektorprodukt vom Skalarprodukt zu unterscheiden, verwenden wir das Vorzeichen × für den Vektor: $\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}$.

Die Frage zeigt ein mögliches Vektorprodukt $\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}$. Das Ergebnis ist der Vektor $\vec{\mathbf{w}}$, der senkrecht zu beiden Vektoren steht. Da wir uns im Raum bewegen, liegen die Vektoren $\vec{\mathbf{u}}$ und $\vec{\mathbf{v}}$ in derselben Ebene, und der Vektor $\vec{\mathbf{w}}$ steht senkrecht auf dieser Ebene.

Wenn ein Vektor eine Linearkombination des anderen ist, dann ist ihr Vektorprodukt gleich dem Nullvektor. Dies gilt für den Fall, dass beide Vektoren auf derselben Linie liegen. Wenn mindestens ein Vektor gleich Null ist, dann ist auch das resultierende Produkt gleich Null.

Wie findet man die Koordinaten des resultierenden Vektors?

Zunächst können wir den Betrag des resultierenden Vektors und seine Richtung berechnen. Praktischer ist es jedoch, die Koordinaten eines solchen Vektors direkt zu kennen. Die Formel selbst sieht wie folgt aus:

$$u\times v=(u_2v_3-v_2u_3, u_3v_1-v_3u_1, u_1v_2-v_1u_2)$$

Diese Formel ist ziemlich schwer zu merken, deshalb gibt es ein Hilfsmittel, um sie sich zu merken:

Mit dieser Tabelle können wir Vektoren schon ganz gut multiplizieren. Beispiel: Betrachten wir die Vektoren $\vec{\mathbf{u}}=(4,0,0)$ und $\vec{\mathbf{v}}=(0,5,0)$. Das sind Vektoren, die ganz auf der Achse x bzw. y liegen. Ihr Vektorprodukt ist gleich:

$$\begin{matrix} \vec{\mathbf{u}}&0&&0&&4&&0\\\hline \vec{\mathbf{v}}&5&&0&&0&&5\\ \vec{\mathbf{u}}\times \vec{\mathbf{v}}&&0&&0&&20 \end{matrix}$$

Der resultierende Vektor $\vec{\mathbf{w}}$ hat die Koordinaten (0, 0, 20). Wir können überprüfen, ob das Ergebnis durch die erste Definition korrekt ist. Sie besagt, dass

$$|w|=|u|\cdot|v|\cdot\sin\alpha,$$

Unser Vektor $\vec{\mathbf{w}}$ hat eine Größe von 20. Entsprechend der Formel:

$$20=|u|\cdot|v|\cdot\sin\alpha$$

Wir addieren:

$$20=4\cdot5\cdot\sin90^\circ=20\cdot1=20.$$

Wozu ist das gut?

Offensichtlich können wir das Vektorprodukt verwenden, um einen Vektor zu finden, der senkrecht zu zwei anderen Vektoren steht. Auch hier können wir überprüfen, ob dies der Fall ist, indem wir das Skalarprodukt verwenden. Das Ergebnis muss gleich Null sein. Überprüfung für das vorherige Beispiel:

$$\begin{eqnarray} \vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{w}}&=&4\cdot0+0+0\cdot20=0\\ \vec{\mathbf{v}}\cdot \vec{\mathbf{w}}&=&0+5\cdot0+0\cdot20=0 \end{eqnarray}$$

Ein weiteres Anwendungsbeispiel ist die Berechnung des Inhalts eines Parallelogramms im Raum. Wenn wir ein Parallelogramm ABCD im Raum haben und die Vektoren $\vec{\mathbf{u}}$ und $\vec{\mathbf{v}}$, die durch die Seiten AB und AD gebildet werden, dann ist der Inhalt des Parallelogramms gleich $S=|\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}|$. Wenn wir ein Dreieck ABC im Raum haben, dann ist sein Inhalt gleich $S=\frac12|\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}|$.

Beispiel: Berechnen Sie den Inhalt des Dreiecks im Raum, das durch die Eckpunkte A[1,0,3], B[5, 6, 8] und C[3, 5, 4] gebildet wird.

Zunächst müssen wir die Vektoren $\vec{\mathbf{u}}$ und $\vec{\mathbf{v}}$ bestimmen.

$$\begin{eqnarray} u&=&B-A=(4, 6, 5)\\ v&=&C-A=(2, 5, 1) \end{eqnarray}$$

Nun berechnen wir ihr Produkt:

$$\vec{\mathbf{w}}=\vec{\mathbf{u}}\times \vec{\mathbf{v}}=(-19, 6, 8)$$

Und dann den Betrag:

$$|\vec{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19)^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx21{,}47$$

Und schließlich teilen wir das Ergebnis durch zwei:

$$S(\triangle ABC)=\frac{21{,}47}{2}=10{,}735$$