Satzlogik

Die Aussagenlogik (mathematische Logik) ist ein Ausdrucksmittel der Mathematik, das in einer Vielzahl von Begriffen und in allen Arten von mathematischen Theoremen vorkommt.

Wofür ist die Logik da?

Die Logik ist die Wissenschaft, die sich mit Schlussfolgerungen, Wahrheit, Beweisbarkeit und Widerlegbarkeit beschäftigt. Doch in der Logik geht es nur um die Form der Botschaft; wir interessieren uns nicht für das, was mitgeteilt wird, ebenso wenig wie für die verschiedenen psychologischen Interpretationen und dergleichen.

Wenn wir zum Beispiel den Satz "Die Zahl 2 ist sowohl gerade als auch ungerade" haben, können wir daraus schließen, dass der ganze Satz nicht wahr ist, weil die Zahl 2 nicht ungerade ist. Das sind Dinge, die im Allgemeinen mit der Logik behandelt werden.

Die Aussage

Die Grundlage der Aussagenlogik ist natürlich der Satz. Eine Aussage ist ein beliebiger Satz, für den wir seinen Wahrheitswert bestimmen können. Beispiele für einfache Aussagen:

• Bill Gates war der reichste Mann der Welt.
• Die natürliche Zahl fünf ist eine ungerade Zahl.
• HTML ist eine Programmiersprache.
• Zwei plus drei ist sechs.

Dies sind alles Aussagen. Entweder sind sie wahr (die ersten beiden) oder sie sind falsch (die letzten beiden). Eine Aussage ist z. B. kein Fragesatz oder ein Satz, dessen Wahrheitswert nicht eindeutig bestimmt werden kann. Noch ein Beispiel:

• Wird Bill Gates nächstes Jahr immer noch der reichste Mann der Welt sein?
• Die Farbe Grün ist die schönste.

Der erste Satz kann keine Aussage sein, weil er ein Fragesatz ist, und beim zweiten Satz können wir nicht feststellen, ob er wahr oder falsch ist. Ein solcher Satz wird dann als Hypothese (Vermutung) bezeichnet.

Die klassische mathematische Logik kann mit vagen Sätzen wie "Honza ist groß" oder "Britney Spears ist eine gute Sängerin" nicht sehr gut umgehen. Solche Aussagen werden beispielsweise in der Fuzzy-Logik besser behandelt, die auf Vagheit zugeschnitten ist.

Atomare Aussage

Im ersten Kapitel hatten wir ein Beispiel für die Aussage "die Zahl 2 ist sowohl gerade als auch ungerade". Wir können eine solche Aussage als zusammengesetzte Aussage bezeichnen, weil sie eigentlich zwei kürzere Aussagen kombiniert, nämlich "die Zahl 2 ist gerade" und "die Zahl 2 ist ungerade". Diese beiden Aussagen werden dann durch die Konjunktion "und" oder auch "und gleichzeitig" verbunden.

Die atomare Aussage ist also eine Aussage, die wir nicht mehr teilen können, sie ist gewissermaßen die einfachste Aussage. Die vorangegangenen Beispiele für Aussagen waren in der Tat atomare Aussagen:

• Bill Gates war der reichste Mann der Welt.
• Die natürliche Zahl fünf ist eine ungerade Zahl.
• HTML ist eine Programmiersprache.
• Zwei plus drei ist sechs.

Atomare Aussagen werden von nun an durch Kleinbuchstaben des Alphabets bezeichnet, klassischerweise p, q, r, …, und werden als Anweisungssymbole bezeichnet.

Konnektoren für Äußerungen

Die mathematische Logik arbeitet üblicherweise mit einer bestimmten Anzahl von Aussagekonjunktionen. Zu den grundlegenden gehören die vier binären Konjunktionen:

• p ∧ q ist eine Konjunktion von Aussagen, die lautet "Aussage p und (gleichzeitig) Aussage q"
• p ∨ q ist eine Disjunktion von Aussagen, wir lesen "Aussage p oder Aussage q"
• $p \Rightarrow q$ ist eine Implikation, wir lesen "wenn Aussage p, dann Aussage q"
• p ⇔ q ist eine Äquivalenz, dann heißt es "Aussage p nur, wenn Aussage q"

Konkrete Beispiele für Konjunktionen von Aussagen:

• Es regnet im Zentrum von Opava und gleichzeitig scheint die Sonne. (Konjunktion)
• Es regnet oder die Sonne scheint im Zentrum von Opava. (Disjunktion)
• Apple ist die coolste Firma und Steve Jobs ist der tollste Kerl.
• Wenn du ein Abführmittel nimmst, dann wirst du bald sitzen... (Implikation)
• Wenn die Zahl x durch vier teilbar ist, dann ist sie auch durch zwei teilbar. (Folgerung)
• Agatha ist sowohl hübsch als auch klug.
• Sängerinnen sind erfolgreich , wenn sie hübsch sind. (Äquivalenz)
• Wenn es nicht regnet, werden wir auch nicht nass. (Folgerung)
• Wenn Leoš Mareš singen kann, dann bin ich der chinesische Gott des Spaßes. (Implikation)

Wir kennen eine weitere häufige Satzkonjunktion: die Negation. Die Negation wird entweder durch ein Komma $p^\prime$ oder durch das Symbol $\neg p$ gekennzeichnet.

Die Formel

Mit Hilfe von Aussagesymbolen (atomaren Aussagen) und Satzkonjunktionen können wir eine komplexere Aussage zusammenstellen, die wir Formel nennen. Alle Beispiele in der vorangegangenen Liste von Sätzen waren eigentlich Formeln, denn wir hatten zwei atomare Formeln, z. B. "Es regnet im Zentrum von Opava" und "Die Sonne scheint", und wir haben sie mit Hilfe von propositionalen Konjunktionen miteinander verbunden. Im ersten Fall haben wir sie mit der Konjunktion "und gleichzeitig" verbunden und erhielten die Formel "Es regnet im Zentrum von Opava und die Sonne scheint gleichzeitig", im zweiten Fall haben wir "oder" verwendet und erhielten die Formel "Es regnet oder die Sonne scheint im Zentrum von Opava".

Formal definieren wir die Formel wie folgt:

• Jedes Aussagesymbol (atomarer Satz) ist eine Formel (genauer gesagt: eine atomare Formel).
• Wenn A und B beide Formeln sind, dann sind $\neg A$, (A ∧ B), (A ∨ B), $(A \Rightarrow B)$, (A ⇔ B) ebenfalls Formeln.

Die Definition macht Sinn: Im ersten Punkt sagen wir, dass jede atomare Aussage auch eine Formel ist. Wenn wir also zwei atomare Aussagen haben, zum Beispiel "Es regnet im Zentrum von Opava" und "Die Sonne scheint", dann haben wir auch zwei Formeln. An dieser Stelle können wir den zweiten Punkt anwenden und eine komplexere Formel wie die folgende konstruieren:

• Es regnet im Zentrum von Opava und gleichzeitig scheint die Sonne.
• Im Zentrum von Opava regnet es oder es scheint die Sonne.
• Wenn die Sonne im Zentrum von Opava scheint, dann regnet es.
• Die Sonne scheint im Zentrum von Opava, wenn es regnet.

Natürlich sind die Formeln nicht unbedingt wahr. Im Moment haben wir einen anderen Satz von Formeln, so dass wir noch kompliziertere Formeln machen können. Wenn wir A="Die Sonne scheint im Zentrum von Opava oder es regnet." (wir wissen bereits, dass dies eine Formel ist) und B="ein Regenbogen ist zu sehen" (nehmen wir wieder an, dass er sich im Zentrum von Opava befindet, damit wir es nicht immer wiederholen müssen), dann können wir weitere Formeln erstellen. Die Klammern in den Sätzen geben nur an, auf welche Teile sich die Konjunktion bezieht.

• A ∧ B(Es ist sonnig oder regnerisch im Zentrum von Opava) und gleichzeitig (man sieht einen Regenbogen).
• A ∨ B(Die Sonne scheint oder regnet im Zentrum von Opava) oder (ein Regenbogen ist zu sehen).
• $A \Rightarrow B$: (Wenn die Sonne im Zentrum von Opava scheint oder regnet), dann (ist ein Regenbogen zu sehen).
• A ⇔ B(Die Sonne scheint oder regnet im Zentrum von Opava), wenn (ein Regenbogen zu sehen ist).

Dies sind alles Formeln. Wir können also wieder eine dieser Formeln nehmen und eine andere Formel hinzufügen. So können wir einen Patvar erstellen wie "Wenn die Sonne scheint oder regnet oder ein Regenbogen im Zentrum von Opava zu sehen ist, dann scheint oder regnet die Sonne gerade, wenn ein Regenbogen zu sehen ist."

Im nächsten Abschnitt werden wir den Wahrheitsgehalt der Formeln untersuchen.