Was ist ein Beweis

Beweise sind die Eckpfeiler der gesamten Mathematik; mit Beweisen kann man aus wenigen Steinen eine ganze Pyramide bauen, und zwar auf dem Kopf stehend.

Die Bedeutung von Beweisen

Beweise sind in der Mathematik aus mehreren Gründen sinnvoll. Der Hauptgrund ist, dass wir ohne Beweise nicht in der Lage sind, eine Idee oder Hypothese zu bestätigen, die uns in den Sinn kommt. Wir könnten zum Beispiel glauben, dass es eine endliche Anzahl von Primzahlen gibt, aber ohne einen Beweis ist dies nur eine sinnlose Behauptung. Andererseits haben auch unbewiesene Aussagen in der Mathematik (und anderswo) eine Bedeutung. Die kurze Antwort lautet: Wenn die Annahme, dass es endlich viele Primzahlen gibt, zutrifft, dann... gilt eine andere Theorie.

Aber dann dürfen wir uns nicht wundern, wenn mit der Zeit jemand beweist, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, wie wir weiter unten zeigen werden, und unsere ganze Theorie wie ein Kartenhaus in sich zusammenfällt. Dank der Beweise können wir also Kartenhäuser bauen, die niemals zusammenbrechen.

Der Grund, warum Beweise in den Schulen gelehrt werden, ist, dass diejenigen, die den Beweis verstehen, auch den Inhalt verstehen. In der Regel kann man einen Sachverhalt kaum gründlich verstehen, ohne den Beweis zu verstehen. Ich habe das Wort "verstanden" ganz bewusst betont, denn wenn man die Beweise am Tag vor der Prüfung auswendig lernt und sie am nächsten Tag nur noch auf Papier ausspuckt, bedeutet das nicht, dass man dem Verständnis des Stoffes näher gekommen ist.

Wenn man also ein Thema lernt, beantworten Beweise die Frage "Warum funktioniert das so?". Wenn Sie verstehen, warum eine bestimmte Sache funktioniert, können Sie sie sich leichter merken, und mit der Zeit werden Sie den Stoff definitiv besser verstehen als jemand, der ihn im "Pour-it-out"-Stil gelernt hat. Die Frage ist, ob dies Ihr Ziel ist.

Was ist ein Beweis?

Was ein Beweis ist, wird in der mathematischen Logik formal definiert, z. B. durch syntaktische Folgerung, aber wir begnügen uns mit einer viel einfacheren Definition.

Am Anfang eines jeden Beweises muss eine Aussage stehen, die wir beweisen wollen. Wir markieren diese Aussage mit dem magischen Symbol $\phi$. Es ist ein griechischer Buchstabe, der "phi" bedeutet. Als Nächstes benötigen wir einen Satz von Axiomen und Annahmen, bezeichnet mit Ax, mit denen wir die Aussage $\phi$ beweisen können. Ein Satz von Axiomen ist etwas, das wir bereits wissen, von dem wir annehmen, dass es wahr ist. Das können Dinge sein wie "jede gerade Zahl ist gleichzeitig durch zwei teilbar". Darüber hinaus kann diese Menge Formeln zur Modifizierung von Ausdrücken enthalten, die irgendwo am Rande bewiesen sind und von denen wir bereits annehmen, dass sie wahr sind, zum Beispiel:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;\qquad a,b\in\mathbb{R}$$

Wir modifizieren nun nacheinander die Aussagen in der Menge Ax, bis wir die Aussage $\phi$ erhalten. Alle Modifikationen müssen logisch korrekt sein, sie müssen der grundlegenden Aussagenlogik entsprechen. Wenn wir zum Beispiel die vorherige Formel beweisen wollten, würden wir so vorgehen, dass der Ausdruck

$$(a+b)^2$$

wir äquivalente Modifikationen vornehmen, bis wir den Ausdruck auf der rechten Seite erhalten. Demonstration:

$$(a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b)=a\cdot a+a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

Im ersten Schritt haben wir die Potenz in ein Produkt zerlegt, im zweiten Schritt haben wir die Klammern multipliziert, im dritten Schritt haben wir die gleichen Ausdrücke addiert und im letzten Schritt haben wir das Produkt als Potenz geschrieben. Jeder Schritt stellte eine elementare Anpassung dar, die wir uns leisten konnten, und wir nehmen an, dass jede dieser elementaren Anpassungen in der Menge Ax enthalten ist.

Wichtig ist, dass jede Anpassung gültig sein muss, sie muss auf etwas aufbauen, das wir bereits wissen. Ein mathematischer Beweis ist so etwas wie eine Evolution - durch aufeinanderfolgende kleine Änderungen bringen wir einen Ausdruck dazu, einen anderen auszudrücken.

Trivialbeweise

Ein trivialer Beweis (oder auch offensichtlicher Beweis) ist ein terminus technicus für einen Beweis, der nicht auf die Tafel passt, also wird er übersprungen und der Schüler lernt ihn aus dem Skript für die Hausaufgaben. :-) Im Ernst: Trivialbeweise sind Beweise, die typischerweise aus einer Definition in einem trivialen Schritt folgen.

Versuchen wir es mit einem Beispiel: Betrachten wir die Menge der natürlichen Zahlen, d.h. die Menge der Zahlen ℕ = {1, 2, 3, …}. Wir können nun sagen, dass jeder Bruch der Form:

$$\frac{q}{p}; \qquad q,p\in\mathbb{N}$$

ein gültiger Bruch ist, d. h., wir können kein Zahlenpaar q, p finden, für das der gegebene Bruch bedeutungslos ist. Wie können wir das beweisen? Zunächst müssen wir herausfinden, wann ein Bruch keinen Sinn ergibt. Ein Bruch ist sinnlos, wenn im Nenner eine Null steht (wir können nicht durch Null dividieren). Wir müssen also beweisen, dass p≠0 für alle möglichen p gilt. Wir wissen aber, dass p aus den natürlichen Zahlen stammt, die wir als ℕ = {1, 2, 3, …} definiert haben. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält keine Null, also wird die Zahl p immer von Null verschieden sein.

$$\forall p\in\mathbb{N}: p\ne 0$$

Und wir haben den Beweis erbracht. Wir wissen, dass der Bruch gültig ist, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner aus natürlichen Zahlen bestehen.

Trivialbeweise sind in der Regel wirklich trivial, aber nur, wenn man die Zusammenhänge kennt. Wenn du zum Beispiel das Konzept einer Menge nicht verstehst oder nicht weißt, was es bedeutet, dass p ein Element der Menge ℕ ist, dann war dieser Beweis auch nicht trivial für dich. Triviale Beweise zeichnen sich nicht so sehr dadurch aus, dass sie einfach sind, sondern dass sie kurz sind und sich einfach aus einem (beliebig schwierigen) Kontext ergeben.

Gegenbeispiel

Ein Gegenbeispiel ist vielleicht die einfachste Form des Beweises, dass ein bestimmter Ausdruck nicht wahr ist. Das Wichtigste ist das Wort "nicht". Ein Gegenbeispiel kann in der Tat einen Fall aufzeigen, in dem die gegebene Aussage nicht wahr ist, aber im Allgemeinen reichen selbst viele Beispiele nicht aus, wenn unendlich viele Elemente im Spiel sind, anhand derer getestet werden kann.

Beispiel: "Jede natürliche Zahl ist größer als zehn". Wie können wir beweisen, dass dies nicht wahr ist? Ein Gegenbeispiel zu unserer Aussage ist zum Beispiel die Zahl fünf. Die Zahl fünf ist eine natürliche Zahl und nicht größer als zehn. Wir können die Aussage nicht beweisen, indem wir mehrere natürliche Zahlen aufzählen, die größer als zehn sind. Man kann nicht sagen: "Die natürlichen Zahlen 11, 12, 13, 123 und 5345 sind größer als 10, also ist die Aussage wahr". Das kann man nicht. Wir haben nur ein paar Beispiele ausgewählt, für die unsere Aussage wahr ist, aber das sagt nichts über die anderen Zahlen aus, die wir gar nicht erwähnt haben.

Zweites Beispiel: Jeder Mann, der größer als 1,80 m ist, hat braune oder blaue Augen. Ich nehme an, dass nur wenige Menschen in der Lage sind, ein Gegenbeispiel zu finden. Was sagt uns das über die betreffende Aussage? Nun, gar nichts. Wenn wir kein Gegenbeispiel finden können, bedeutet das nicht unbedingt, dass die Aussage wahr ist. Vielleicht gibt es irgendwo ein Gegenbeispiel, wir sind nur gerade nicht in der Lage, es zu finden. Dass wir kein Gegenbeispiel finden können, beweist nicht, dass die Aussage wahr ist.

Direkter Beweis

Die grundlegende Art des Beweises ist der direkte Beweis. Wir folgen trocken der Definition und ändern die ursprüngliche Aussage, bis wir die gewünschte Aussage erhalten. Normalerweise wollen wir eine Aussage beweisen, die die Form einer Implikation $A\Rightarrow B$ hat, wobei A ein Ausgangspunkt, eine Annahme, und B die Aussage ist, die wir ableiten, also beweisen wollen. Wenn die Aussage A zutrifft, dann trifft auch die Aussage B zu. Oft ist uns nur die Aussage B gegeben, d.h. das, was wir beweisen wollen, und wir müssen die Aussage A entsprechend auswählen.

Das folgende Verfahren verwendet die Implikation, um weitere Aussagen abzuleiten, und die letzte Aussage ist die Aussage B. Schematisch könnte dies wie folgt geschrieben werden:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow\ldots \Rightarrow A_n \Rightarrow B$$

Als Beispiel beweisen wir, dass die Aussage

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

Nun in Schritten:

1. Da a>1 gilt, gilt sicher auch a>0 und damit a≠0 (eigentlich schwächen wir die Bedingung nur ab).

• Da a ungleich Null und positiv ist, können wir die Variable a sicher mit der gesamten Ungleichung multiplizieren. Wäre a gleich Null, könnten wir überhaupt nicht multiplizieren; wäre sie negativ, müssten wir die Ungleichung umkehren. Nach der Multiplikation mit der Variablen a erhalten wir den Ausdruck a²>a.
• Zu diesem Zeitpunkt wissen wir, dass a>1 und a²>a. Wenn wir diese beiden Ausdrücke zusammensetzen, erhalten wir: a²>a>1.
• Von hier aus entfernen wir einfach den mittleren Ausdruck und erhalten den Ausdruck a²>1. Wir können uns das leisten, weil a größer als eins und a² größer als a ist. Wenn a² größer als a und a ebenfalls größer als eins ist, dann ist a² sicherlich größer als eins.

Symbolisch könnte man es so formulieren:

$$a>1\Rightarrow a>0 \Rightarrow a^2>a \Rightarrow a^2>a>1 \Rightarrow a^2>1.$$

Indirekter Beweis

Der indirekte Beweis macht bereits mehr Gebrauch von den Eigenschaften der Implikation. Wenn wir eine Aussage der Form $A\Rightarrow B$ zu beweisen haben, können wir die umgekehrte Implikation verwenden und beweisen

$$\neg B \Rightarrow \neg A.$$

Dieser Ansatz kann manchmal bequemer sein als beispielsweise ein direkter Beweis. Der Widerspruchsbeweis verwendet ein ähnliches Verfahren, auf das jeder indirekte Beweis übertragen werden kann. Versuchen wir nun, die Aussage indirekt zu beweisen

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Wir machen nun eine Umkehrung der Implikation:

$$\begin{eqnarray} \neg(a=b)&\Rightarrow&\neg(a-b=0)\\ a\ne b&\Rightarrow&a-b\ne0 \end{eqnarray}$$

Wenn a≠ b, können wir b in die Summe b = a + x zerlegen, wobei x den Abstand von b zu a darstellt. Der Ausdruck ändert sich wie folgt:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne0;\quad x\ne0$$

Wir subtrahieren die Variablen a, was wir können:

$$0\ne x\Rightarrow x\ne 0; \quad x\ne0$$

Wir können sehen, dass überall dort, wo x von Null verschieden ist, die Aussage bewiesen ist, also die ursprüngliche Aussage gilt

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Andere Beweistechniken sind zum Beispiel der bereits erwähnte Beweis durch Streit oder der Beweis durch Induktion.

Andere Quellen

• Mathematische Beweise auf Wikipedia