Ausdrücken einer Variablen

Wie man eine bestimmte Variable aus einer komplexen Beziehung oder einem Bruch ausdrückt. Diese Technik wird insbesondere bei der Arbeit mit verschiedenen Formeln verwendet, an denen mehrere Variablen beteiligt sind. Doch in Kombination mit anderen Formeln können wir ungeahnte Leistungen vollbringen, indem wir alles aus dem Nichts ableiten.

Einfache lineare Ausdrücke

Betrachten Sie dieses Muster: ax + b = c Wie isolieren wir x aus diesem imaginären Muster? Wir beginnen immer damit, dass wir alle Ausdrücke mit der zu isolierenden Variablen auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite setzen. Theoretisch ist es egal, auf welcher Seite sich was befindet, aber die Konvention ist, dass die Unbekannte, die wir ausdrücken wollen, auf der linken Seite steht. Wir verschieben also zunächst b auf die rechte Seite, d. h. wir fügen −b zur Gleichung hinzu:

\begin{eqnarray} ax + b &=& c \quad /-b\ ax &=& c -b \end{eqnarray}

Wir haben Ausdrücke mit der Variablen auf einer Seite, aber wir haben immer noch diese a, die uns stört. Wie werden wir sie elegant los? Was müssen wir mit dem Ausdruck ax tun, um nur x zu erhalten? Ja, wir dividieren den Ausdruck - und damit die ganze Gleichung - durch a, oder wir multiplizieren mit $\frac{1}{a}$. Der Wert von a muss von Null verschieden sein(wir können nicht durch Null dividieren). Wenn wir dies tun, erhalten wir:

\begin{eqnarray} ax &=& c -b\quad\cdot\frac{1}{a}\quad(a\ne0)\x &=& \frac{c-b}{a} \end{eqnarray}

Erledigt. Ein anderes Beispiel:

$$2ax − 3bx = 10a$$

Wieder müssen wir x isolieren. Wir haben bereits die Ausdrücke mit der Unbekannten auf der linken Seite, so dass wir uns ein wenig Arbeit erspart haben. Aber die Komplikation ist, dass wir zwei Ausdrücke mit Unbekannten haben. Wir lösen die Situation durch Vorhalten. Von der linken Seite der Gleichung drucken wir x aus und erhalten:

\begin{eqnarray} 2ax - 3bx &=& 10a\\x(2a - 3b) &=& 10a \end{eqnarray}

Als wir im vorherigen Beispiel den Ausdruck ax hatten und nur x erhalten wollten, haben wir die gesamte Gleichung mit $\frac{1}{a}$ multipliziert. Jetzt haben wir den Ausdruck x(2a − 3b) in der Gleichung, und wieder wollen wir x wissen. Wir machen dasselbe, wir dividieren die ganze Gleichung durch den Ausdruck (2a − 3b). Keine Sorge, wir können die Gleichung tatsächlich durch die ganze Klammer dividieren, es muss nur 2a − 3b ≠ 0 sein.

\begin{eqnarray} x(2a - 3b) &=& 10a\quad /\cdot \frac{1}{2a - 3b}\x &=& \frac{10a}{2a-3b} \end{eqnarray}

Brüche

Wenn wir einen Ausdruck mit Brüchen haben, verwenden wir dieselben Gleichungsänderungen, wir müssen nur aufpassen, dass wir nicht versehentlich durch Null dividieren oder multiplizieren. Beispiel:

$$ \frac{a}{x}=\frac{b}{c} $$

Wir wollen x isolieren. Wir multiplizieren die gesamte Gleichung mit x - wir müssen nur die Annahme hinzufügen, dass x ≠ 0. Das ist sowieso wahr, denn der Bruch $\frac{a}{x}$ steht in der Gleichung und x im Nenner - wir können nicht durch Null dividieren. Wir erhalten also die Gleichung:

\begin{eqnarray} \frac{a}{x}&=& \frac{b}{c}\quad/\cdot x\quad(x\ne0)\& &=& \frac{bx}{c}\quad/\cdot c\quad(c\ne0)\& ac&=& bx\quad\cdot\frac{1}{b}\quad(b\ne0)\\frac{ac}{b}&=& x&=&\frac{ac}{b}\end{eqnarray}

Wenn Sie die Unbekannte isolieren, verwenden Sie einfach die üblichen Gleichungsgleichungen.