Beispiele zur Aussagenlogik

In diesem Artikel werden wir einige Formeln und ihre möglichen Auswertungen anhand der Tabellenmethode zeigen.

Das erste Beispiel

Versuchen wir zu sehen, wann diese Formel wahr ist: $\phi=(p \wedge q) \vee \neg q$ Schreiben wir die Aussagesymbole p und q in die Tabelle:

$$\begin{array}{cc} p&q\\ 1&1\\ 1&0\\ 0&1\\ 0&0 \end{array}$$

Als nächstes notieren wir den ersten Teil der Formel in der Tabelle: (p ∨ q), die Negation $\neg q$ und dann die ganze Formel:

$$\begin{array}{ccccc} p&q&p \wedge q&\neg q&\phi\\ 1&1\\ 1&0\\ 0&1\\ 0&0 \end{array}$$

Nun berechnen wir die Werte für die dritte Spalte, also die einfache Konjunktion und auch für die Negation - dort setzen wir einfach die umgekehrten Werte ein als in der zweiten Spalte:

$$\begin{array}{ccccc} p&q&p \wedge q&\neg q&\phi\\ 1&1&1&0\\ 1&0&0&1\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1 \end{array}$$

Schließlich berechnen wir die Werte in der letzten Spalte. Das ist die ganze Formel. Ausgehend von unserer Tabelle berechnen wir also die Disjunktion "zwischen der dritten und vierten Spalte". Ergebnis:

$$\begin{array}{ccccc} p&q&p \wedge q&\neg q&\phi\\ 1&1&1&0&1\\ 1&0&0&1&1\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&1 \end{array}$$

Zweites Beispiel

Gleiches Problem, andere Formel: $(p \wedge \neg q) \Leftrightarrow (\neg p \Rightarrow q)$ Wir sehen, dass die Formel die Aussagesymbole p und q und ihre Negationen enthält. Wir erstellen also zunächst eine Tabelle mit den beiden Symbolen und ihren Verneinungen:

$$\begin{array}{cccc} p&q&\neg p&\neg q\\ 1&1&0&0\\ 1&0&0&1\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&1 \end{array}$$

Als nächstes fügen wir die Formeln $\phi=p \wedge \neg q$ und $\neg p \Rightarrow q$ hinzu, die wir bereits leicht auswerten können, da wir sowohl die Auswertung der einzelnen Aussagen als auch ihre Negationen in der Tabelle haben. Die Tabelle sieht so aus:

$$\begin{array}{cccccc} p&q&\neg p&\neg q&(p\wedge \neg q)&(\neg p\Rightarrow q)\\ 1&1&0&0&0&1\\ 1&0&0&1&1&1\\ 0&1&1&0&0&1\\ 0&0&1&1&0&0 \end{array}$$

Als letztes müssen wir die gesamte Formel auswerten, die die Äquivalenz zwischen den letzten beiden Spalten darstellt:

$$\begin{array}{ccccccc} p&q&\neg p&\neg q&(p\wedge \neg q)&(\neg p\Rightarrow q)&\phi\\ 1&1&0&0&0&1&0\\ 1&0&0&1&1&1&1\\ 0&1&1&0&0&1&0\\ 0&0&1&1&0&0&1 \end{array}$$

Das dritte Beispiel

Das dritte Beispiel wird etwas komplizierter, wir werden drei Aussagesymbole verwenden, was die Berechnung der Tabelle komplexer macht. Die Formel wird wie folgt aussehen: $\phi=(\neg(p\Rightarrow q)) \wedge (r\Leftrightarrow(\neg p \vee q))$.

Da es drei Satzsymbole gibt, ergibt sich eine Gesamtzahl von acht Varianten der Auswertung:

$$\begin{array}{ccc} p&q&r\\ 1&1&1\\ 1&1&0\\ 1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array}$$

Als Nächstes gehen wir wie im vorherigen Fall vor und werten jede Spalte in allen acht Zeilen aus. Die gesamte Tabelle sieht dann wie folgt aus:

$$\begin{array}{ccccccccc} p&q&r&\neg p&(p\Rightarrow q)&(\neg p\vee q)&\neg (p\Rightarrow q)&(r\Leftrightarrow (\neg p\vee q))&\phi\\ 1&1&1&0&1&1&0&1&0\\ 1&1&0&0&1&1&0&0&0\\ 1&0&1&0&0&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0&0&1&1&1\\ 0&1&1&1&1&1&0&1&0\\ 0&1&0&1&1&1&0&0&0\\ 0&0&1&1&1&1&0&1&0\\ 0&0&0&1&1&1&0&0&0 \end{array}$$

Viertes Beispiel

Dieses Beispiel wird nicht mehr als einfache Formel eingegeben, sondern als Wortproblem. Drei Freunde, die zu einer wilden Party gehen wollen, auf der Oben-ohne-Models Erfrischungen verteilen, mögen sich nicht besonders und stellen Bedingungen, unter denen sie zu der Party gehen. Ihre Namen sind Martin, James und Peter. Die Regeln lauten wie folgt:

1. Wenn Martin geht, geht auch Jakub.

• Peter wird zur Party gehen oder, wenn Martin geht, wird Jakub nicht gehen.
• Peter wird kommen, wenn Martin nicht kommt oder James nicht kommt.

Die Frage ist: Können alle zu der Party kommen? Wenn nicht, wer kann auf die Party gehen und keine Regeln brechen?

Als Erstes müssen wir die bisherigen verbalen Aussagen in Aussagesymbole und Formeln umformulieren. Benennen wir also die Aussagesymbole M, J und P (Martin, James, Peter) und es wird immer eine Aussage wie "Martin wird zur Party gehen" bezeichnet. Wir könnten die erste Regel umschreiben als $M \Rightarrow J$ - "wenn M, dann J", oder "wenn Martin auf die Party geht, dann geht James auf die Party".

Die zweite Regel könnte wie folgt umgeschrieben werden. Die Regel beginnt mit "Peter wird zur Party kommen oder...", also brauchen wir offensichtlich eine Disjunktion. Für den Moment schreiben wir das auf: P∨… Der nächste Teil des Satzes lautet: "Wenn Martin kommt, wird Jakobus nicht kommen." Das ist eine Implikation, und wir müssen immer noch die Negation auf der rechten Seite verwenden. "James wird nicht kommen" = $\neg J$. Die gesamte Implikation würde so aussehen: $M \Rightarrow \neg J$ Wir fügen das zur vorherigen Disjunktion hinzu: $P \vee M \Rightarrow \neg J$.

Wir schreiben die dritte Regel wie folgt um: Wir beginnen mit "Peter wird gleich kommen". Dies impliziert Äquivalenz: P ⇔ … Als nächstes haben wir "Martin wird nicht kommen oder James wird nicht kommen", was wir wie folgt umschreiben: $\neg M \vee \neg J$ Wir fügen zusammen: $(P\Leftrightarrow (\neg M\vee \neg J))$.

Nun tragen wir alle Formeln in eine Tabelle ein und berechnen die Werte:

$$\begin{array}{cccccc} M&J&P&(M\Rightarrow J)&(P\vee (M\Rightarrow \neg J))&(P\Leftrightarrow (\neg M\vee \neg J))\\ 1&1&1&1&1&0\\ 1&1&0&1&0&1\\ 1&0&1&0&1&1\\ 1&0&0&0&1&0\\ 0&1&1&1&1&1\\ 0&1&0&1&1&0\\ 0&0&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&1&0 \end{array}$$

Die Frage war, ob alle drei Jungen zu einer wilden Party gehen können. Die Antwort finden wir in der ersten Zeile. Damit haben wir die Antwort für den Fall, dass alle Jungen hingehen - dies wird durch die drei 1en in den ersten drei Spalten signalisiert. Sind alle Bedingungen erfüllt? Das erste Ja (vierte Spalte), das zweite auch (fünfte Spalte), aber das letzte Nein (letzte Spalte), es ist eine Null. Das heißt, wenn alle drei zutreffen, ist die dritte Bedingung nicht erfüllt.

Wir suchen also nach den Zeilen, in denen die Positionen, die die Bedingungen symbolisieren (d. h. die letzten drei Spalten), alle Einsen sind. Eine Eins bedeutet, dass die Bedingung erfüllt ist. Wir sehen, dass dies in zwei Fällen der Fall ist. Wenn James und Peter gehen, Martin aber nicht, und wenn nur Peter geht.

Sie können dies auch berechnen, indem Sie die Formel $\phi$ zur Tabelle hinzufügen, die die Konjunktion aller drei Bedingungen ist. Die Tabelle sieht dann wie folgt aus: $\phi = ((M\Rightarrow J)\wedge (P\vee (M\Rightarrow \neg J))\wedge (P\Leftrightarrow (\neg M\vee \neg J)))$ Dies entspricht dem, was wir wollen - dass alle Formeln (alle Bedingungen) erfüllt sind. Die Tabelle würde dann wie folgt aussehen:

$$\begin{array}{ccccccc} M&J&P&(M\Rightarrow J)&(P\vee (M\Rightarrow \neg J))&(P\Leftrightarrow (\neg M\vee \neg J))&\phi\\ 1&1&1&1&1&0&0\\ 1&1&0&1&0&1&0\\ 1&0&1&0&1&1&0\\ 1&0&0&0&1&0&0\\ 0&1&1&1&1&1&1\\ 0&1&0&1&1&0&0\\ 0&0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&1&0&0 \end{array}$$

Einige Beispiele für die Tabellenmethode

Da ich ein Programm geschrieben habe, das automatisch eine ganze Tabelle aus einer gegebenen Formel erstellen kann, muss ich es richtig anwenden. Daher folgen nun einige weitere gelöste Formeln:

Formel: $((a\wedge \neg b)\vee (b\wedge (b\Rightarrow a)))$ Tabelle:

$$\begin{array}{ccccc} a&b&(a\wedge \neg b)&(b\wedge (b\Rightarrow a))&((a\wedge \neg b)\vee (b\wedge (b\Rightarrow a)))\\ 1&1&0&1&1\\ 1&0&1&0&1\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{array}$$

Formel: $(a\vee \neg a)\Leftrightarrow (b\wedge \neg b)$ Tabelle:

$$\begin{array}{ccccc} a&b&(a\vee \neg a)&(b\wedge \neg b)&((a\vee \neg a)\Leftrightarrow (b\wedge \neg b))\\ 1&1&1&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ 0&1&1&0&0\\ 0&0&1&0&0 \end{array}$$

Formel: $\neg (a\vee b)\Leftrightarrow (\neg b\wedge \neg a)$ Tabelle:

$$\begin{array}{ccccc} a&b&\neg (a\vee b)&(\neg b\wedge \neg a)&(\neg (a\vee b)\Leftrightarrow (\neg b\wedge \neg a))\\ 1&1&0&0&1\\ 1&0&0&0&1\\ 0&1&0&0&1\\ 0&0&1&1&1 \end{array}$$

Formel: $(\neg p \Leftrightarrow (q \wedge r)) \Rightarrow (p \vee \neg (p \wedge q))$ Tabelle:

$$\begin{array}{cccccccc} p&q&r&(q\wedge r)&\neg (p\wedge q)&(\neg p\Leftrightarrow (q\wedge r))&(p\vee \neg (p\wedge q))&\phi\\ 1&1&1&1&0&0&1&1\\ 1&1&0&0&0&1&1&1\\ 1&0&1&0&1&1&1&1\\ 1&0&0&0&1&1&1&1\\ 0&1&1&1&1&1&1&1\\ 0&1&0&0&1&0&1&1\\ 0&0&1&0&1&0&1&1\\ 0&0&0&0&1&0&1&1 \end{array}$$

Formel: $\neg(p\Leftrightarrow \neg q) \wedge (r \Rightarrow \neg p) \wedge (p \vee r)$ Tabelle:

$$\begin{array}{ccccccc} p&q&r&\neg (p\Leftrightarrow \neg q)&(r\Rightarrow \neg p)&(p\vee r)&\phi\\ 1&1&1&1&0&1&0\\ 1&1&0&1&1&1&1\\ 1&0&1&0&0&1&0\\ 1&0&0&0&1&1&0\\ 0&1&1&0&1&1&0\\ 0&1&0&0&1&0&0\\ 0&0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&1&0&0 \end{array}$$