Übergangsmatrix
Kapitoly: Vektorräume, Beispiele für Vektorräume, Vektor-Unterraum, Lineare Kombinationen von Vektoren, Linearer Wrapper, Basen des Vektorraums, Dimensionen des Vektorraums, Übergangsmatrix
Wenn wir einen Vektorraum V und zwei seiner Basen haben, können wir einen Vektor aus dem Raum als eine Kombination von Vektoren aus den beiden Basen ausdrücken. Die Übergangsmatrix hilft uns dann, den einen Ausdruck in den anderen umzuwandeln.
Begründung
Wir haben einen n-dimensionalen Vektorraum V und zwei verschiedene Basen E = {e1, …, en} und F = {f1, …, fn}. Als nächstes wählen wir einen Vektor x aus V. Da x aus dem Raum V stammt und da E und F beide Basen dieses Raums sind, muss es Koeffizienten von a1, …, an geben, die so sind, dass:
$$ \mathbf{x} = a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{e}_n $$
und gleichzeitig muss es solche Koeffizienten von b1, …, bn geben, dass:
$$ \mathbf{x} = b_1 \cdot \mathbf{f}_1 + \ldots + b_n \cdot \mathbf{f}_n $$
Im ersten Fall drücken wir den Vektor x durch die Basis E aus, im zweiten Fall durch die Basis F. Wenn wir zwei verschiedene Basen verwenden, um x auszudrücken, erhalten wir gleichzeitig zwei verschiedene Mengen von Koeffizienten ai und bi. Es stellt sich die Frage: Wenn wir die Koeffizienten von ai kennen, gibt es dann eine Möglichkeit, aus diesen Koeffizienten die Koeffizienten von bi, d. h. den Ausdruck in Bezug auf die andere Basis, zu erhalten?
Ja, für diesen Zweck gibt es eine sogenannte Übergangsmatrix.
Wie erhält man die Übergangsmatrix?
Bleiben wir bei der Tatsache, dass wir den Raum V und zwei Basen E = {e1, …, en} und F = {f1, …, fn} haben. Da E eine Basis des Raums V ist, können alle Vektoren f1, …, fn als Linearkombinationen von Vektoren aus der Basis E ausgedrückt werden. Die Vektoren f1, …, fn sind zwar Teil der Basis F, aber sie sind auch gewöhnliche Elemente des Raums V, also müssen sie gelten:
$$\begin{eqnarray} \mathbf{f}_1 &=& a_{11} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{21} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{n1} \cdot \mathbf{e}_n\\ \mathbf{f}_2 &=& a_{12} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{22} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{n2} \cdot \mathbf{e}_n\\ &\ldots&\\ \mathbf{f}_n &=& a_{1n} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{2n} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{nn} \cdot \mathbf{e}_n \end{eqnarray}$$
Wir schreiben diese Gleichungen nun in eine Matrix um, so dass die erste Spalte der Matrix alle Koeffizienten von a1i enthält, die zweite Spalte alle Koeffizienten von a2i, usw. Wir erhalten die Matrix:
$$P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n2}\\ \ldots\\ a_{1n}&a_{2n}&\ldots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$$
Eine solche Matrix nennt man dann die Übergangsmatrix von der Basis E zur Basis F. Wenn wir einen Vektor x = {x1,…, xn} von V haben, der Koeffizienten b1, …, bn in Bezug auf die Basis F hat, dann erhält man die Koeffizienten a1, …, an in Bezug auf die Basis E
$$ \begin{pmatrix} a_1\\vdots\\a_n \end{pmatrix} P\cdot \begin{pmatrix} b_1\vdots\b_n \end{pmatrix} $$Beispiel
Wir arbeiten mit dem Vektorraum ℝ3 und wählen eine Standardbasis E = {[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]} und eine weitere Basis F = {[2,0,0], [3,2,0], [1,5,4]}. Die Übergangsmatrix von der Basis E zur Basis F hat die Form
$$P=\begin{pmatrix} 2&3&1\\ 0&2&5\\ 0&0&4 \end{pmatrix}$$
Nun wählen wir einen beliebigen Vektor x∈ ℝ3, zum Beispiel x = [12,41,28]. Dieser hat Koeffizienten in Bezug auf die Basis F a1 = −2, a2 = 3, a3 = 7 . Wir führen also das Produkt von Matrizen durch:
$$ \begin{pmatrix} 2&3&1\\\ 0&2&5\\\\ 0&0&4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\3\\7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12\41\28 \end{pmatrix} $$Ausgehend von der Basis E hat der Vektor x die Koeffizienten a1 = 12, a2 = 41, a3 = 28. Daraus folgt:
$$ \left[12{,}41,28\right] = 12\cdot\left[1{,}0,0\right]+41\cdot\left[0{,}1,0\right]+28\cdot\left[0{,}0,1\right] $$