Homogene Systeme von linearen Gleichungen

Ein Gleichungssystem gilt als homogen, wenn die rechte Seite jeder Gleichung gleich Null ist.

Definition eines homogenen Systems

Die allgemeine Form eines homogenen Systems von Gleichungen sieht wie folgt aus:

$$ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&0\\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&=&\vdots\\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&0\\ \end{array} $$

Dieses System enthält m Gleichungen mit n Unbekannten, und die rechten Seiten aller Gleichungen sind Null. Wären sie nicht gleich Null, wäre es kein homogenes Gleichungssystem. Wir können das obige Gleichungssystem in eine Matrix umschreiben, indem wir nacheinander alle Koeffizienten, d. h. alle Terme a_ij, an denselben Stellen in die Matrix schreiben, an denen sie sich im System befinden. Die rechte Nullspalte wird nicht in die Matrix umgeschrieben, da sie unnötig ist. Also, etwa so:

$$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn} \end{array} \right) $$

Diese Matrix stellt das oben beschriebene Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten dar. Jede Zeile dieser Matrix entspricht einer Gleichung. Das gesamte System kann dann wie folgt geschrieben werden

$$Ax,=,0$$

Grundlegende Eigenschaften des Systems

Aus dem Artikel über lineare Gleichungssysteme und dem Frobenius-Theorem können wir einige interessante Aussagen über homogene Gleichungssysteme ableiten.

• Jedes homogene System hat eine Lösung.
• Die Menge aller Lösungen eines homogenen Systems enthält immer Null-Lösungen. Wenn wir nach allen Variablen die Null einsetzen, erhalten wir m von Gleichungen 0 = 0.
• Aus dem Frobenius-Theorem wissen wir, dass wir, um die allgemeine Lösung eines Gleichungssystems zu schreiben, n − k Parameter benötigen, wobei n die Anzahl der Variablen und k der Rang der erweiterten Matrix des Systems ist, in unserem Fall k = rank(A). Wenn n = k, dann brauchen wir keine Parameter und das System hat eine einzige Lösung, nämlich Null. n = k nur dann, wenn die Matrix A regulär ist - wenn sie keine linear abhängigen Zeilen enthält.
• Aus dem vorhergehenden Punkt folgt auch, dass das System genau dann eine Lösung ungleich Null hat, wenn die Matrix A eine linear abhängige Zeile enthält.
• Wenn das System mehr Unbekannte als Gleichungen hat, hat das System eine Lösung ungleich Null. Wenn es mehr Unbekannte als Gleichungen hat, bedeutet dies, dass k = rank(A) höchstens gleich der Anzahl der Gleichungen sein kann, d. h. m. Und wenn k < n gilt, dann n − k > 0 und somit gibt es weitere Lösungen, die wir mit den Parametern n − k beschreiben.

Eigenschaften der Lösungsmenge

• Die Summe beliebiger Lösungen des Systems Ax = 0 ist auch eine Lösung des Systems. Wenn x₁ und x₂ Lösungen des Systems sind, dann gelten Ax₁ = 0 und Ax₂ = 0, und durch die vorherige Aussage gilt auch A(x₁ + x₂) = 0.

Der Beweis ist einfach. Nehmen wir an, dass Ax₁ = 0 und Ax₂ = 0 gelten und wir beweisen A(x₁ + x₂) = 0. Die Addition und Multiplikation von Matrizen erfüllen das Distributivgesetz, so dass wir schreiben können

$$A(x_1+x_2) = Ax_1+Ax_2.$$

Aber durch die Annahmen Ax₁ = 0 und Ax₂ = 0, können wir den Ausdruck Ax₁ + Ax₂ in 0+0 umschreiben. Wir erhalten die Gleichung 0 = 0, so dass das Theorem gilt.

Insbesondere: Wenn wir zwei Lösungen des Systems haben: x₁ = (0, 5, 6) und x₂ = (7, 3, 5), dann ist die Lösung des Systems auch x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11).

• Für jede Konstante c ∈ ℝ, c-mal die Lösung des Systems ist auch eine Lösung. Wenn x₁ eine Lösung des Systems Ax = 0 ist, dann ist c · x₁ auch eine Lösung des Systems.

Der Beweis ist wiederum einfach. Nehmen wir an, dass x₁ eine Lösung des Systems Ax = 0 und c ∈ ℝ ist. Dann beweisen wir, dass die Gleichheit gilt

$$A(cx_1)=0$$

Da c eine numerische Konstante ist, können wir sie vor den gesamten Ausdruck setzen:

$$A(cx_1) = c\cdot Ax_1$$

Unter der Annahme, dass Ax₁ = 0 gilt, erhalten wir aus c · Ax₁ c · 0 = 0 .

• Eine logische Folge der beiden vorherigen Punkte ist, dass jede Linearkombination von Lösungen des Systems auch eine Lösung des Systems ist.

Nun stellt sich die Frage: Wenn einige Lösungen nur Linearkombinationen anderer Lösungen sind, gibt es dann eine Menge von Lösungen, durch die wir alle anderen Lösungen erzeugen können?

Wir wollen nun versuchen, die Lösungen des Systems in eine Matrix zu schreiben. Das heißt, wenn $x_1 = (x_{11}, x_{12}, …, x_{1n})$ eine Lösung ist und $x_2 = (x_{21}, x_{22}, …, x_{2n})$ eine Lösung ist und so weiter für x_i, werden wir eine Matrix F erstellen, die diese Lösungen als Spalten enthält:

$$ F=\begin{pmatrix} x_{11}&x_{21}&…\\ x_{12}&x_{22}&…\\ \vdots&\vdots&\ddots\\ x_{1n}&x_{2n}&… \end{pmatrix} $$

Da wir unendlich viele verschiedene Linearkombinationen und damit Lösungen erzeugen können, wird die Matrix F unendlich sein. Uns interessiert nun, ob die Matrix F so reduziert werden kann, dass sie nur noch eine endliche Anzahl von Spalten enthält, mit denen wir alle anderen Lösungen erzeugen können.

Wie viele Spalten werden übrig bleiben? Die Matrix F hat n Zeilen, weil das ursprüngliche System n Variablen hatte und jede Spalte eine Lösung darstellt. Der maximal mögliche Rang der Matrix F ist also nur n. Wenn die Matrix F mehr als n Spalten hat, ist es sicher, dass mindestens eine Spalte linear abhängig ist. Daher können wir die gesamte Lösungsmenge in eine Matrix mit maximalem Rang n × n schreiben und die anderen Lösungen durch Linearkombinationen berechnen. Jede zusätzliche Spalte wäre sicherlich überflüssig. Die Frage ist, ob es möglich ist, die Größe der Matrix F noch weiter zu reduzieren.

Grundlegendes Lösungssystem

Aus dem Frobenius-Theorem wissen wir, dass wir die allgemeine Lösung des Systems Ax = 0 durch n − k Parameter ausdrücken können, wobei n die Anzahl der Variablen und k = rank(A) ist. Wir bezeichnen die Parameter mit t₁, t₂, …, t_{n − k}. Wie könnten wir mit diesen Parametern zwei linear unabhängige Lösungen erzeugen?

Im ersten Fall setzen wir nach dem Parameter t₁ eine Eins und nach den anderen Parametern eine Null. Also t₁ = 1 und t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. Im zweiten Fall machen wir dasselbe, verschieben aber die Eins zum zweiten Parameter: t₂ = 1 und t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Wenn wir diese Parameter in die allgemeine Lösung einsetzen, erhalten wir zwei verschiedene Lösungen, die linear unabhängig sind.

Beispiel: Sei

$$(t_1, t_2, t_3, 2t_1, 4t_3)$$

sei die allgemeine Lösung eines homogenen Gleichungssystems mit drei Parametern. Für die Wahl der Parameter t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0 erhalten wir die Teillösung x₁ = (1, 0, 0, 2, 0), für t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 erhalten wir x₂ = (0, 1, 0, 0, 0) und für t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 erhalten wir x₃ = (0, 0, 1, 0, 4). Wir schreiben die Teillösung in der Matrix F auf:

$$F=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 2&0&0\\ 0&0&4 \end{pmatrix} $$

Aus den ersten drei Zeilen können wir deutlich erkennen, dass die Spalten linear unabhängig sind. Wir haben also drei verschiedene Teillösungen konstruiert, die linear unabhängig voneinander sind. Zugleich ist jede andere Lösung linear abhängig. Wenn wir die Parameter t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 wählen und die Lösung berechnen, erhalten wir x₄ = (1, 2, 0, 2, 0).

Aber wir können diese Lösung als x₁ + 2x₂ = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0) ausdrücken. Das Gleiche gilt für die anderen Lösungen. Damit haben wir eine Matrix erhalten, die drei Spalten hat und alle Lösungen des Gleichungssystems definiert.

Wir können das Verfahren verallgemeinern. Wenn wir ein System Ax = 0 und seine allgemeine Lösung haben, die n − k Parameter verwendet, dann können wir die Lösung des Systems durch n − k linear unabhängige Teillösungen des Systems ausdrücken. Wir nennen eine solche Lösung dann ein fundamentales Lösungssystem.

Wir erhalten diese Lösungen beispielsweise, indem wir nacheinander eine Eins hinter jeden t₁, t₂, …, t_{n − k} Parameter setzen und den Rest der Parameter zu Null machen. Dies führt zu n − k Lösungen des Systems, die linear unabhängig sind.

Dies ist nicht die einzige Möglichkeit, n − k linear unabhängige Teillösungen des Systems zu erzeugen. Wir können den Parameter t_i durch eine beliebige Zahl, die nicht Null ist, anstelle von Eins ersetzen und erhalten immer noch linear unabhängige Lösungen.

Noch einmal die Definition des fundamentalen Lösungssystems des Systems Ax = 0: Es ist die Menge der Teillösungen {x₁, x₂, …, x_{n − k}}, die

• x₁, x₂, …, x_{n − k} linear unabhängig sind,
• jede Lösung des Systems Ax = 0 kann durch eine Linearkombination der Teillösungen x₁, x₂, …, x_{n − k} ausgedrückt werden.

Beispiel

Lösen Sie ein homogenes Gleichungssystem und bestimmen Sie das grundlegende Lösungssystem:

$$ \begin{array}{cccccccccccc} 2x_1&-&5x_2&+&7x_3&+&x_4&=&0\\ 4x_1&+&3x_2&+&x_3&&&=&0\\ 2x_1&-&18x_2&+&20x_3&+&3x_4&=&0\\ 8x_1&-&20x_2&+&28x_3&+&4x_4&=&0\\ \end{array} $$

Die Matrix des Systems A hat dann die Form

$$ A=\begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 2&-18&20&3\\ 8&-20&28&4 \end{pmatrix} $$

Wir können die Determinante dieser Matrix berechnen. Diese ist gleich Null. Somit ist die Systemmatrix singulär und das System hat eine Lösung ungleich Null. Wir finden die allgemeine Lösung des Systems mit Hilfe der Gaußschen Eliminationsmethode. Die letzte, vierte Zeile ist gleich der Summe der ersten drei Zeilen. Wir löschen also die gesamte vierte Zeile mit Null. Dann multiplizieren wir die erste Zeile mit drei, die zweite mit minus eins, und die dritte Zeile ist gleich der Summe der ersten beiden Zeilen:

$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 2&-18&20&3\\ 8&-20&28&4 \end{pmatrix} &\sim& \begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 2&-18&20&3\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&-15&21&3\\ -4&-3&-1&0\\ 2&-18&20&3\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&-15&21&3\\ -4&-3&-1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

Weitere Anpassungen sind überflüssig. Wir sehen, dass die Matrix den Rang zwei hat, rank(A) = 2. Um die allgemeine Lösung des Systems zu schreiben, brauchen wir zwei Parameter, wir nennen sie s und t. Um die grundlegende Lösung zu schreiben, brauchen wir zwei Teillösungen.

Nun kommen wir zu diesem Gleichungssystem:

$$ \begin{array}{cccccccccccc} 2x_1&-&5x_2&+&7x_3&+&x_4&=&0\\ 4x_1&+&3x_2&+&x_3&&&=&0\\ \end{array} $$

Aus der zweiten Gleichung isolieren wir x₃.

$$x_3=-4x_1-3x_2$$

Nach x₁ und x₂ setzen wir die Parameter ein, also s = x₁ und t = x₂. Dann können wir schreiben, dass x₃ = −4s − 3t. Es bleibt, x₄ zu berechnen. Das finden wir aus der ersten Gleichung:

$$\begin{eqnarray} x_4&=&-2s+5t-7(-4s-3t)\\ x_4&=&-2s+5t+28s+21t\\ x_4&=&26s+26t\\ x_4&=&26(s+t) \end{eqnarray}$$

Die allgemeine Lösung ist also gleich : (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). Um das grundlegende Lösungssystem zu erhalten, müssen wir zwei Teillösungen (d. h. zwei besondere Lösungen) finden, die linear unabhängig sind. Diese finden wir, indem wir zunächst s = 1, t = 0 hinter die Parameter setzen und dann s = 0, t = 1. Für das erste Paar von Parametern haben wir eine Teillösung

$$X_1=(x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 0, -4, 26)$$

und für das zweite Paar

$$X_2=(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 1, -3, 26).$$

Diese Lösungen sind linear unabhängig. Da wir bei der allgemeinen Lösung zwei Parameter verwendet haben, benötigen wir nur zwei Teillösungen, um das Grundsystem zu bilden. Das fundamentale Lösungssystem sieht also wie folgt aus

$$\left\{(1, 0, -4, 26), (0, 1, -3, 26)\right\}.$$

Wir können auch überprüfen, dass diese beiden Lösungen gültig sind, indem wir sie in die ursprünglichen Gleichungen einsetzen. Für X₁ erhalten wir die folgenden Gleichungen:

$$ \begin{array}{cccccccccccc} 2\cdot1&-&5\cdot0&+&7\cdot(-4)&+&26&=&0\\ 4\cdot1&+&3\cdot0&-&4&&&=&0\\ 2\cdot1&-&18\cdot0&+&20\cdot(-4)&+&3\cdot26&=&0\\ 8\cdot1&-&20\cdot0&+&28\cdot(-4)&+&4\cdot26&=&0\\ \end{array} $$

Nach Anpassungen haben wir:

$$\begin{eqnarray} 2-28+26&=&0\\ 4-4&=&0\\ 2-80+78&=&0\\ 8-112+104&=&0 \end{eqnarray}$$

Wir sehen, dass jede Gleichung 0 = 0 ergibt. Es scheint, dass wir richtig berechnet haben.

Referenzen und Quellen

• O. Krupkova, Lineare Algebra I [PDF]
• Systeme von linearen Gleichungen, fav.zcu.cz, [PDF]