Binäre Beziehungen in einer Menge

Unter einer binären Beziehung auf eine Menge versteht man eine binäre Beziehung, die zwischen zwei identischen Mengen definiert ist.

Beispiele

Eine binäre Relation auf einer Menge ist ein spezieller Typ einer binären Relation, bei der die beiden unterstützenden Mengen identisch sind. Eine binäre Sitzung auf einer Menge ist also eine Sitzung R, bei der R ⊆ M × M gilt.

Eine "größer als"-Sitzung ist eine binäre Sitzung für eine Menge, da wir mit Zahlen auf beiden Seiten arbeiten. Daher > ⊆ ℝ × ℝ. Die Sitzung "Vater - Anzahl der Kinder" ist keine binäre Sitzung für eine Menge, weil wir den Vater aus der Menge aller Personen auswählen, während wir die Anzahl der Kinder aus einer numerischen Menge auswählen.

Eigenschaften

Die binäre Sitzung R auf der Menge M kann einige interessante Eigenschaften haben. Wir sagen, die Sitzung R ist...

• reflexiv, wenn für alle a ∈ M gilt, dass [a, a] ∈ R.
• symmetrisch, wenn für alle a, b ∈ M gilt: Wenn [a, b] ∈ R, dann gilt auch [b, a] ∈ R.
• antisymmetrisch, wenn für alle a, b ∈ M gilt, dass wenn [a, b] ∈ R auch [b, a] ∈ R ist, dann a = b.
• transitiv, wenn für alle a, b, c ∈ M gilt, dass, wenn [a, b] ∈ R und auch [b, c] ∈ R, dann auch [a, c] in R ist.

Beispiele für Reflexivität

Reflexivität bedeutet, dass ein Element in Beziehung zu sich selbst steht. Ein typisches Beispiel ist die Gleichheit. Wenn wir Gleichheit für die natürlichen Zahlen definiert haben, dann gilt das natürlich für jedes Element a: a = a. Ein anderes Beispiel wäre die Teilbarkeit. Auch hier ist die Zahl a durch sich selbst teilbar, so dass das Paar [a, a] in einer Teilbarkeitsbeziehung steht (sieben teilt sieben).

Eine Relation kleiner als ist jedoch nicht mehr reflexiv, denn es ist nicht wahr, dass a < a. Dies ist nicht möglich, sieben kann nicht kleiner als sieben sein. Ähnlich verhält es sich mit der Beziehung, der Vater meines Kindes zu sein - ich kann nicht mein eigener Vater sein. Eine solche Beziehung ist nicht reflexiv.

Der Punkt ist, dass die Reflexivität für alle Elemente gelten muss, es reicht nicht aus, nur einige zu finden. Ein Beispiel dafür ist die Beziehung "jemanden mögen". Einerseits kann ich jemanden mögen, zum Beispiel einen Rezensenten, aber ich kann auch mich selbst mögen. Sicherlich gibt es einen Menschen, der sich selbst mag. Aber es gibt auch einen Menschen, der sich selbst nicht mag. Eine solche Beziehung ist dann nicht reflexiv - alle Menschen müssten sich selbst mögen.

Beispiele für Symmetrie

Wenn es in einer symmetrischen Beziehung ein Paar gibt, dann gibt es auch ein umgekehrtes Paar in dieser Beziehung. Ein Beispiel dafür ist die Beziehung zwischen Geschwistern. Wenn Honza ein Geschwisterpaar von Jana ist, dann ist Jana auch ein Geschwisterpaar von Honza. Bei den numerischen Relationen könnte es sich um die Relation "die entgegengesetzte Zahl zu sein" handeln. Damit meine ich das Paar 2 und −2 oder −7 und 7. Dies sind zwei Zahlen, die sich zu Null addieren. Eine solche Sitzung ist symmetrisch, weil die Reihenfolge keine Rolle spielt: [2, −2] und [−2, 2] sind immer noch einander entgegengesetzte Zahlen, die sich zu Null addieren.

Eine nicht symmetrische Reihe ist kleiner als (über die reellen Zahlen). Sie hat kein symmetrisches Element, weil a < b nie gültig sein kann und b < a. Wenn 5 < 15, dann kann 15 < 5 nicht gültig sein. Außerdem ist die Beziehung "der Vater deines Sohnes sein" nicht symmetrisch. Du kannst der Vater deines Sohnes sein, aber dann kann der Sohn nicht der Vater seines Vaters sein.

Auch diese Eigenschaft muss für alle Fälle gelten. Wenn die Beziehung "jemanden mögen" (auf der Menge aller Menschen) symmetrisch sein soll, dann müsste, wenn ich Agata Hanychova mag, Agus mich auch mögen. Und da sie mich nicht einmal kennt, kann ich nicht sagen, dass sie mich mag, was schade ist und die Beziehung nicht symmetrisch ist. Was ebenfalls schade ist.

Beispiele für Antisymmetrie

Das klassische Beispiel für eine antisymmetrische Sitzung ist eine geringere oder gleiche Sitzung. Die Antisymmetrie besagt, dass, wenn die Elemente [a, b] und [b, a] in einer Sitzung sind, sie nur dann gleich sein können, wenn sie gleich sind, a = b. Eine weniger-als-gleich-Sitzung erfüllt dies. Wann treffen a ≤ b und b ≤ a gleichzeitig zu? Nur wenn a = b. Wenn wir hinzufügen: Gilt 3 ≤ 5 und gleichzeitig 5 ≤ 3? Nein. Aber 4 ≤ 4 und 4 ≤ 4 gelten zur gleichen Zeit.

Ein Beispiel für einen nicht antisymmetrischen Satz sind Wortpaare, die die gleiche Länge haben, z. B. [sobota, sekera]. Eine solche Lerneinheit ist nicht antisymmetrisch, weil wir ein Wortpaar finden, das in der Lerneinheit enthalten ist, ihr inverses Element ist ebenfalls in der Lerneinheit enthalten, und dennoch sind die beiden Wörter unterschiedlich. Also das oben erwähnte Element [sobota, sekera] und sein Inverses: [sekera, sobota] Beide sind offensichtlich in unserer Sitzung, aber gleichzeitig auch sobota ≠ sekera, so dass die Sitzung nicht antisymmetrisch ist.

Beispiel für Transitivität

Eine Transitivität ist eine Weniger-als-Relation. Die Transitivität besagt, dass, wenn 3 < 4 und 4 < 5, dann 3 < 5 sicher auch gelten muss. Dies ist eine ziemlich natürliche Eigenschaft für viele Relationen. Ähnliches gilt für das Beispiel mit der gleichen Wortlänge. Wenn [sekera, sobota] und [sobota, poleno] in der Sitzung sind, dann sind auch [sekera, poleno] Wörter in der Sitzung.

Der Transitiv ist nicht die Sitzung, der Vater eines Sohnes zu sein. Wenn Tonda der Vater von Franta ist und Franta der Vater von Mirko, dann ist Tonda nicht der Vater von Mirko, er ist sein Großvater. Ebenso ist es keine transitive Beziehung, jemanden zu mögen. Wenn ich Agatha mag und Agatha mag ihren Mann, heißt das nicht, dass ich Agathas Mann mag.

Die Transitivität wird auch im klassischen Würfelspiel angesprochen. Nehmen wir an, eine Sitzung, in der A gewürfelt wird, ist besser als B, wenn der Würfel A mit größerer Wahrscheinlichkeit eine höhere Zahl würfelt als der Würfel B. Ist eine solche Sitzung transitiv? Diese Frage wird in dem Artikel Nicht-transitive Würfel beantwortet.

Äquivalenz und Ordnung

Einige spezielle Arten von binären Sitzungen haben Namen:

• EineÄquivalenz ist eine Sitzung, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
• EineAnordnung ist eine Beziehung, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.