Nicht-transitive Würfel

Stellen Sie sich vor, Sie haben drei sechsseitige Würfel, auf denen beliebige Zahlen stehen. Könnte es sein, dass der Würfel A mit größerer Wahrscheinlichkeit eine höhere Zahl hat als der Würfel B, der Würfel B mit größerer Wahrscheinlichkeit eine höhere Zahl hat als der Würfel C und der Würfel C mit größerer Wahrscheinlichkeit eine höhere Zahl hat als der Würfel A?

Transitivität

Transitivität ist ein Konzept aus den binären Beziehungen. Wir sagen, dass eine Sitzung R auf M transitiv ist, wenn für alle a, b, c ∈ M gilt, dass wenn [a, b] ∈ R und auch [b, c] ∈ R, dann [a, c] in R ist.

Im Falle von Würfeln könnten wir eine "Sei ein besserer Würfel"-Sitzung in dem Sinne haben, dass ein A -Würfel besser ist als ein B-Würfel, wenn A häufiger eine höhere Zahl würfelt als B. Dann sieht die Transitivität wie folgt aus: Wenn A besser ist als B und gleichzeitig B besser ist als C, dann muss A auch besser sein als C. Ist dies wahr?

Versuchen wir, ein Gegenbeispiel zu finden, d. h. drei Würfel, die zyklisch besser sind. Der Würfel A wird besser sein als der Würfel B, der Würfel B wird besser sein als der Würfel C, und der Würfel C wird besser sein als der Würfel A. Wir betrachten immer nur sechsseitige Würfel.

Beispiel

Diese drei Würfel sind ein Beispiel:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel A eine größere Zahl würfelt als der Würfel B? Es gibt insgesamt 36 verschiedene Paare von Möglichkeiten, wie die Würfel fallen können. Wenn der B Würfel zuerst eine 1 würfelt, wird der A Würfel immer eine größere Zahl würfeln. Das heißt, es gibt 6 Paare, bei denen der A Würfel eine höhere Zahl würfelt. Wenn eine zweite 1 auf B gewürfelt wird, haben wir mehr 6 Paare, bei denen eine höhere Zahl auf A gewürfelt wird. Wenn eine der Sechsen getroffen wird, muss eine der Neunen auf A getroffen werden. Dies sind die anderen 4 Möglichkeiten. Wenn eine der Achten fällt, muss eine der Neunen auf A fallen. Wiederum 4 Möglichkeiten. Insgesamt haben wir also 6 + 6 + 4 + 4 = 20 Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine höhere Zahl auf A fällt, ist 20/36 = 5/9, was ungefähr 55 % entspricht.

Nun B vs. C. Wenn eine der Dreien auf C fällt, muss eine der Sechsen oder eine der Achten auf B fallen. Das sind insgesamt 2 · 4 = 8 Möglichkeiten. Wenn eine Fünf gewürfelt wird, muss B wieder 6 oder 8 würfeln, also wieder 8 Möglichkeiten. Wenn eine Sieben gewürfelt wird, muss eine Acht gewürfelt werden auf B, 4 Möglichkeiten. Die Summe ist 8 + 8 + 4 = 20. Die Wahrscheinlichkeit ist wiederum 5/9.

Schließlich C vs. A. Wenn eine Zwei auf A fällt, ist alles von C höher. Das sind 12 Möglichkeiten. Wenn eine Vier trifft, kann C auf 5 oder 7 treffen. Das sind 8 Möglichkeiten. Wenn eine Neun fällt, haben wir Pech gehabt. Alles in allem ergibt das 12 + 8 = 20 Möglichkeiten, und wir erhalten wieder die Wahrscheinlichkeit 5/9.

Efrons Würfel

Die Efron-Würfel sind ein weiterer Fall einer Reihe von Würfeln, die in Bezug auf die Sitzung, die ein besserer Würfel ist, nicht transitiv sind. Sie haben die folgenden Zahlen:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

Dabei schlägt ein Würfel den nächsten Würfel immer mit der Wahrscheinlichkeit 2/3. Wird zum Beispiel eine Vier auf dem Würfel A gewürfelt, gewinnt er gegenüber dem Würfel B. In dem Moment, in dem eine Null gewürfelt wird, verliert er. Und beim Würfel A wird mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 eine Vier gewürfelt. Ähnliches gilt für die anderen Würfel.

Es gibt noch andere Varianten von Efrons Würfeln. Solche, die den gleichen Durchschnittswert pro Wurf haben (zum Beispiel würfelt der Würfel A im Durchschnitt die Zahl 8/3, während C einen höheren Durchschnittswert hat, 10/3) oder solche, die alle natürlichen Zahlen von 1 bis 24 unter sich aufteilen.

Andere Ressourcen

• Englische Wikipedia