Das St. Petersburger Paradoxon
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Das St. Petersburger Paradoxon vermischt Statistik, Entscheidungsfindung und Wahrscheinlichkeitsrechnung miteinander. In St. Petersburg gibt es ein Kasino, das uns ein Spiel anbietet, bei dem wir einen bestimmten Geldbetrag gewinnen können. Unsere Aufgabe ist es, herauszufinden, was ein fairer Eintrittspreis für dieses Spiel wäre.
Die Regeln des Spiels
Wenn wir das Spiel betreten, wirft der Betreiber eine Münze. Wenn der erste Wurf Kopf ergibt, endet das Spiel und wir gewinnen einen Euro. Wird Zahl gewürfelt, geht das Spiel weiter. In der zweiten Runde wird die Münze erneut geworfen. Wenn Kopf geworfen wird, endet das Spiel und wir haben das Doppelte des möglichen Gewinns gewonnen, also zwei Euro. Kommt Zahl heraus, geht es weiter. Wenn in der dritten Runde Kopf kommt, gewinnen wir vier Euro. Wenn er in der vierten Runde fällt, gewinnen wir acht Euro.
Verallgemeinert - wenn in der k-ten Runde Kopf fällt, haben wir 2k − 1 Euro gewonnen. Die Frage ist nun, was wäre ein faires Startgeld für dieses Spiel?
Der Erwartungswert
Der faire Preis sollte sich am erwarteten (mittleren) Wert orientieren. Wenn wir zum Beispiel im Durchschnitt hundert Euro gewinnen können, sollte der Eintrittspreis hundert Euro oder etwas mehr betragen, damit das Casino einen Gewinn erzielt. Aber was ist der erwartete Wert in unserem Spiel? Schlüsseln wir die Details auf, mit denen wir jeden Gewinn erzielen können. In der ersten Spalte stehen die Preise, in der zweiten Spalte unsere Chance, diesen Preis zu bekommen. Zum Beispiel ist die Chance, beim ersten Wurf Kopf zu bekommen, $\frac12$. Die Chance, zuerst Zahl und dann Kopf zu bekommen, ist $\frac14$. usw.
$$\begin{array}{cc} 1&1/2\\ 2&1/4\\ 4&1/8\\ 8&1/16\\ 16&1/32\\ …&… \end{array}$$
Wie berechnen wir nun den Mittelwert? Wir multiplizieren den Betrag, den wir erhalten können, mit der Wahrscheinlichkeit, diesen Betrag zu erhalten, und addieren das Ganze. Wir erhalten:
$$\begin{eqnarray} E&=&\frac12\cdot1+\frac14\cdot2+\frac18\cdot4+\frac{1}{16}\cdot8+\ldots\\ &=&\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\ldots\\ &=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac12=\infty \end{eqnarray}$$
Der erwartete Wert ist unendlich. Der Mittelwert des Preises ist also im idealisierten Fall unendlich viele Euro. Das sieht nicht schlecht aus. Das Problem ist, dass gleichzeitig der Eintritt gleich unendlich sein soll. Das ist natürlich Unsinn.
Kritiker dieses Paradoxons argumentieren natürlich, dass man nicht unendlich lange spielen kann, dass man nicht unendlich viel Geld gewinnen kann und dass man selbst dann, wenn man die Zahl der maximalen Münzwürfe von unendlich auf eine endliche Zahl n"reduziert", immer noch ziemlich schnell auf Beträge kommt, die niemand auf der Welt hat. Zum Beispiel hätten Sie nach 41 bereits 240 Euro gewonnen, das sind etwa eine Billion Euro (tausend Milliarden Euro). Nach zehn weiteren Würfen hättest du das Tausendfache gewonnen.
Das endgültige Startgeld
Natürlich wird Ihnen niemand eine unendliche Anzahl von Euro als Startgeld geben. Das Paradoxon kann jedoch teilweise mit einem endlichen Geldbetrag demonstriert werden. Für jeden ganzen Euro-Betrag gibt es eine maximale Anzahl von Münzwürfen, bei denen der Durchschnittswert so hoch ist, wie wir ihn brauchen. Wenn wir zum Beispiel einen Betrag von 1.000 Euro haben wollen, sagen wir, dass die maximale Anzahl der Münzwürfe 2.000 beträgt. Dann berechnen wir einen solchen Betrag:
$$\sum_{k=1}^{2000}\frac12=2000\cdot\frac12=1000$$
Der Mittelwert wird dann 1000 Euro sein. Wenn wir ein Startgeld von D Euro haben wollen, dann sagen wir, dass die maximale Anzahl der Münzwürfe 2D ist.
Aber natürlich wird kein vernünftiger Mensch ein Startgeld von, sagen wir, tausend Euro bezahlen, wenn er absolut minimale Chancen hat, mehr als tausend Euro zu gewinnen.