Das Fragezeichen-Paradoxon

So lernten sich der ehemalige CEO von CEZ, Martin Roman, und der brillante tschechische Politiker Václav Klaus während eines Urlaubs in Dubai kennen. Nach ein paar Flaschen feinem Strohwein beginnen sie zu wetten, wer die teurere Krawatte hat.

Auftritt

Wie wir bereits wissen, beginnen Martin und Václav nach ein paar Flaschen Wein eine Wette darüber, wer die teurere Krawatte hat. Diese Krawatte haben sie von ihren Frauen zu Weihnachten geschenkt bekommen, und sie wissen nicht einmal, wie viel die Krawatte kostet. Der genaue Wortlaut der Wette lautet wie folgt: Sie fragen ihre Frauen nach dem Preis, und derjenige, der die billigere Krawatte hat, bekommt die Krawatte des anderen. Wenn also Václav eine billigere Krawatte hat als Martin, bekommt Václav die Krawatte von Martin. Und andersherum. Die erste Frage ist: Ist einer von ihnen im Vorteil? Lohnt es sich für einen der beiden, die Wette anzunehmen, oder sind die Chancen für beide genau gleich?

Pseudolösung

Das mag sein. Wir nehmen weiterhin an, dass der Preis für Unentschieden unterschiedlich ist. Das ändert aber nichts an der Lösung, denn wenn der Preis gleich wäre, würde niemand die Krawatte von irgendjemandem bekommen. Ich bin dabei: Wenzel hat eine Krawatte, die X Kronen kostet. Er weiß nichts über Martins Krawatte und hat auch keine anderen Hinweise, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die billigere Krawatte hat, 50 %, die Wahrscheinlichkeit, dass er die teurere Krawatte hat, ist ebenfalls 50 %. Wenn Wenzel also die teurere Krawatte hat, verliert er X Kronen. Aber wenn er die billigere Krawatte hat, gewinnt er mehr als X Kronen. Beides mit der Wahrscheinlichkeit 50 %: Er hat eine 50% Chance, X Kronen zu verlieren und eine 50% Chance, mehr als X Kronen zu gewinnen.

Mit der gleichen Wahrscheinlichkeit kann sie also mehr Geld gewinnen (eine teurere Krawatte) als sie verlieren kann. Und es zahlt sich aus! Es sieht so aus, als ob die Dinge für Václav sehr gut laufen, und er ist besser dran, wenn er die Wette annimmt. Er hat mehr zu gewinnen, als er zu verlieren hat.

Aber, wie ihr euch denken könnt, kann Martin die gleiche Rechnung aufmachen. Auch Martin hat 50% eine Chance, seine Krawatte im Wert von Y zu verlieren und 50% eine Chance, eine Krawatte im Wert von mehr als Y zu gewinnen.

Offensichtlich ist es nicht möglich, dass bei gleichem Einsatz beide Teilnehmer im Vorteil sind; irgendetwas muss da falsch sein.

Lösung

Lassen Sie uns zunächst aufschlüsseln, wer tatsächlich gewinnen kann. Legen wir einen bestimmten Gleichstandspreis fest. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass es nur zwei Unentschieden gibt, mit Preisen von 3000 und 4000 Kronen. Dann können aus der Sicht von Vaclav die folgenden Fälle eintreten:

• Václav hat eine Krawatte zu 3000 und Martin hat eine Krawatte zu 4000 $\rightarrow$ Václav hat 4000 erhalten.
• Václav hat einen Gleichstand bei 4000 und Martin bei 3000 $\rightarrow$ . Václav hat 4000 verloren.

(Dass sie für den gleichen Preis ein Unentschieden erreicht haben, haben wir ausgeschlossen, aber das wäre auch nicht nötig gewesen - dann hätte keiner von ihnen gewonnen.)

Wie du siehst, wird das Spiel immer um das gleiche Geld gespielt, Václav kann entweder 4000 gewinnen oder 4000 verlieren. Das ist natürlich unabhängig vom konkreten Preis, wenn du die Beträge 250 und 350 einträgst, wird es immer um 350 Kronen gespielt. Es lohnt sich also für niemanden, auf die Wette einzugehen (oder nicht einzugehen), wenn er keine zusätzlichen Informationen hat.

Wenn wir insgesamt drei verschiedene Krawatten hätten, sagen wir für 2000, 3000 und 4000, würden wir ein bisschen mehr von diesen Möglichkeiten bekommen. Erst gewinnt Wenzel, dann verliert Wenzel:

• Václav hat ein Unentschieden für 2000 und Martin ein Unentschieden für 3000 $\rightarrow$ Václav hat 3000.
• Václav hat ein Unentschieden bei 2000 und Martin hat ein Unentschieden bei 4000 $\rightarrow$ Václav hat 4000 erhalten.
• Václav hat ein Unentschieden bei 3000 erreicht und Martin hat ein Unentschieden bei 4000 erreicht. $\rightarrow$ Václav hat 4000 erreicht.
• Václav hat ein Unentschieden bei 3000 erreicht und Martin hat ein Unentschieden bei 2000 erreicht. $\rightarrow$ Václav hat 3000 verloren.
• Václav hat ein Unentschieden bei 4000 erreicht und Martin hat ein Unentschieden bei 2000 erreicht $\rightarrow$. Václav hat 4000 verloren.
• Václav hat ein Unentschieden für 4000 und Martin für 3000 $\rightarrow$ . Václav hat 4000 verloren.

Alle Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich. Wie Sie sehen, kann Václav genau so viel Geld gewinnen, wie er gleichzeitig verlieren kann. Wir würden ähnliche Tabellen für noch mehr Unentschieden erhalten, es würde immer zutreffen, dass Václav das Geld verlieren kann, das er gleichzeitig gewinnen kann. Und da alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, ist keiner der Teilnehmer im Nachteil.

Der Hauptfehler, den Václav machte, war, dass er mit einem festen Preis für seine Krawatte rechnete. Das kann er nicht, denn wie im Beispiel mit zwei Krawatten zu sehen ist, war der Preis seiner Krawatte im Falle des Verlierens ein anderer als im Falle des Gewinns. Ähnlich verhält es sich im nächsten Beispiel mit drei Krawatten: Wenn Wenzel gewonnen hat, war der Preis seiner Krawatte aus der Menge {2000, 3000}, wenn er aber verloren hat, war der Preis aus der Menge {3000, 4000}. Dennoch hat Wenzel mit einem festen Betrag gerechnet.