Operationen mit Beziehungen

Da Beziehungen eigentlich Mengen sind, können wir mit ihnen klassische Mengenoperationen durchführen.

Mengenoperationen

Im vorherigen Artikel haben wir eine Sitzung als Menge definiert. Wir können mit Mengen Operationen wie Vereinigung, Schnittmenge oder Differenz durchführen. Schauen wir uns nun an, was dies im Falle von Beziehungen bedeutet.

Als erstes müssen wir eine Bedingung einführen, da wir diese Operationen nicht zwischen beliebigen Sitzungen durchführen können. Wenn wir eine "kleiner als"- und eine "gerade Zahl"-Sitzung haben, machen diese Operationen keinen Sinn, weil die erste Sitzung binär ist, während die zweite unär ist. Um also nach der Anwendung der Mengenoperation wieder eine Sitzung zu erhalten, müssen alle vorhandenen Sitzungen die gleiche Arität haben, d. h. sie müssen alle n-ary für einige n sein.

Vereinheitlichung

Nehmen wir an, wir haben eine "kleiner als"- und eine "gleich"-Sitzung. Was passiert, wenn wir diese Sitzungen vereinheitlichen? In der Sitzung "weniger als" haben wir alle Paare [a, b], für die a < b gilt. In der Sitzung "Gleichheit" haben wir alle Paare [a, b], für die a = b gilt. In der Sitzung < ∪ = gibt es also alle Paare [a, b], für die a < b oder a = b gilt. Die Zahl a ist entweder kleiner als b oder gleich. Wir kennen eine solche Sitzung und nennen sie "kleiner als oder gleich" und bezeichnen sie als ≤.

Wenn wir die Sitzungen R₁ und R₂ haben, dann ergibt die Vereinigung die Sitzung R = R₁ ∪ R₂, für die Folgendes gilt: Das Element r ist in der Sitzung R, wenn es in der Sitzung R₁ oder in der Sitzung R₂ ist. Mit anderen Worten, es ist in der resultierenden Sitzung, wenn es in mindestens einer der vereinigten Sitzungen war.

Schnittpunkt

Bei der Vereinheitlichung erhalten wir eine neue Lerneinheit, deren Elemente in mindestens einer der vereinheitlichten Lerneinheiten enthalten sind. Bei der Schnittmenge verhält es sich ähnlich, nur müssen die Elemente in beiden Sitzungen enthalten sein.

Was erhalten wir, wenn wir wieder eine Sitzung kleiner als und gleich (über die reellen Zahlen) nehmen und ihre Schnittmenge bilden? Wir sollten Elemente erhalten, die sowohl kleiner als auch gleich in der Sitzung sind. Aber ein solcher Fall kann nicht eintreten, denn wenn a < b, dann gilt a = b niemals. Wir würden eine leere Sitzung erhalten.

Nehmen wir diese beiden Sitzungen: eine "Teilbarkeit ohne Rest" und eine binäre Sitzung, die Paare von Elementen [a, b] enthält, wobei a eine ungerade Zahl und b eine gerade Zahl ist. Lassen Sie uns über die natürlichen Zahlen arbeiten. In der ersten Sitzung gäbe es Zahlenpaare wie [5, 15], [6, 30], [3, 123] - immer muss die zweite Zahl durch die erste Zahl teilbar sein. In der zweiten Runde gäbe es Zahlenpaare, bei denen die erste Zahl ungerade und die zweite gerade ist: [1, 4], [5, 14], [3, 24] usw. Die Schnittmenge dieser Sitzungen ergibt eine neue Sitzung R und enthält solche Paare [a, b], bei denen b durch a teilbar ist, während a ungerade und b gerade ist. Zum Beispiel: [5, 30] oder [3, 24].

Der Unterschied

Wenn wir zwei Sitzungen R₁ und R₂ haben, dann wird die Differenz R₁ − R₂ eine neue Sitzung erstellen, die Elemente enthält, die in R₁, aber nicht in R₂ enthalten sind. Wir können wieder zu den Sitzungen "kleiner als" oder "gleich" und "gleich" zurückkehren. Wenn die Sitzung R₁ kleiner oder gleich ist und die Sitzung R₂ gleich ist, dann ergibt die Differenz R₁ − R₂ Elemente, die in der Sitzung kleiner oder gleich sind, aber nicht in der Gleichheitssitzung. Wir erhalten also Paare von [a, b], für die a ≤ b gilt und gleichzeitig a = b nicht gilt. Mit anderen Worten, wir erhalten eine Weniger-als-Beziehung: <.

Das Komplement der Lerneinheit

Für jede Sitzung können wir eine Komplement-Sitzung finden. Die Elemente einer Komplement-Sitzung R sind alle Elemente, die nicht zur ursprünglichen Sitzung R gehören. Die Komplement-Sitzung zu einer Gleichheits-Sitzung (d. h. = ) ist zum Beispiel eine Ungleichheits-Sitzung. In der ersten Sitzung haben wir alle Paare von Elementen, die gleich sind (z.B. 5 = 5), in der Komplement-Sitzung haben wir alle Zahlen, die nicht gleich sind (z.B. 5≠6).

Das einzige, worauf man bei der Bestimmung des Komplements einer Lerneinheit achten muss, ist die Unterstützungsmenge - die Menge, zu der die Lerneinheit gehört. Wir können die Gleichheitsrelation für die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die reellen Zahlen oder sogar für die Menge aller Menschen auf der Erde definieren.

Wenn wir eine binäre Relation R haben, so dass sie aus den Mengen M₁ und M₂: R ⊆ M₁ × M₂ besteht, dann ist das Komplement der Relation, nennen wir es S, gleich S = (M₁ × M₂) ∖ R: das sind die Elemente, die im kartesischen Produkt der unterstützenden Mengen enthalten sind, aber nicht in der Relation R. Ähnliches gilt für Sitzungen anderer Aritäten.