Diskriminante

Eine Diskriminante ist ein Polynom, mit dem man die Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung berechnen kann, oder um festzustellen, ob eine Gleichung eine Lösung hat und wie viele Lösungen sie hat.

Formeln und grundlegende Beziehungen

Schauen wir uns zunächst die Grundform einer quadratischen Gleichung an:

$$ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0$$

wobei a, b, c reelle Zahlen sind. Die Diskriminante, die wir mit D bezeichnen, wird wie folgt berechnet:

$$D=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Beispiel: Betrachten Sie die quadratische Gleichung 3x² + 5x − 7 = 0. Für diese Gleichung: a = 3, b = 5, c = −7 Wir berechnen die Diskriminante wie folgt:

$$D=5^2-4\cdot3\cdot(-7)=25+4\cdot3\cdot7=25+84=109$$

Das Ergebnis ist 109. Was sagt uns diese Zahl? Wenn die Diskriminante...

• positiv, dann hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln,
• Null, dann hat die Gleichung zwei gleiche reelle Wurzeln,
• negativ, dann hat die Gleichung keine Lösung im reellen Zahlenbereich. Sie hat jedoch eine Lösung im Bereich der komplexen Zahlen.

Wie berechnet man die Wurzeln einer quadratischen Gleichung?

Mit Hilfe der Diskriminante können wir die Wurzeln einer quadratischen Gleichung direkt berechnen. Die Formel zur Berechnung der Wurzeln lautet wie folgt:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},$$

wobei D die Diskriminante ist. Die vollständige Formel mit aufgeschlüsselter Diskriminante sieht wie folgt aus:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Versuchen wir nun, mit dieser Formel die Wurzeln der quadratischen Gleichung x² + 7x + 12 = 0 zu berechnen. Zuerst berechnen wir die Diskriminante:

$$D=7^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1.$$

Die Diskriminante ist positiv, also hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln. Berechnen wir die erste Wurzel. Zuerst addieren wir die Quadratwurzel der Diskriminante, im zweiten Schritt subtrahieren wir die Quadratwurzel:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac62=-3.$$

Die erste Wurzel ist −3. Wir berechnen die zweite Wurzel, indem wir die Quadratwurzel subtrahieren:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac82=-4.$$

Jetzt haben wir beide Wurzeln der Gleichung, x₁ = −3 und x₂ = −4.

Um dieses Verfahren zu beherrschen, ist es unerlässlich, dass Sie die Werte von a, b und c richtig bestimmen können. Wie man sie richtig bestimmt, wurde im ersten Artikel über quadratische Gleichungen beschrieben.

Und was bedeutet diese Lösung grafisch, wie zeigt sie sich auf dem Graphen? Wenn wir den Graphen der Funktion zeichnen, die auf der linken Seite der Gleichung steht, stellen wir fest, dass der Graph dieser quadratischen Funktion die Achse x in zwei Punkten schneidet - bei x₁ = −3 und x₂ = −4.

Die Null-Diskriminante

Wenn die Diskriminante Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung eine Lösung hat, aber nur eine; oder zwei, aber dieselbe. Beispiel: Lösen Sie die Gleichung x² − 10x + 25 = 0. Berechnen Sie die Diskriminante:

$$D=(-10)^2-4\cdot1\cdot25=100-100=0.$$

Berechnen Sie die Wurzel wie im letzten Kapitel, indem Sie die Formel verwenden. Da die Diskriminante jedoch Null ist, verschwindet die Plus-/Minuswurzel von D aus der Formel, da wir Null addieren/subtrahieren würden.

$$x_{1{,}2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Wir haben eine Doppelwurzel erhalten, x = 5. Was bedeutet das grafisch gesehen? Dass der Graph der gegebenen Funktion die Achse x in genau einem Punkt, ihrem Scheitelpunkt, berührt.

Die negative Diskriminante

Wenn die Diskriminante negativ ist, dann hat die quadratische Gleichung keine Lösung im reellen Zahlenbereich. Wir können die Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen lösen, aber das ist ein Thema für einen anderen Artikel. Versuchen wir als Beispiel, diese quadratische Gleichung zu lösen: x² + x + 1 = 0 Diskriminer:

$$D=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.$$

Die quadratische Gleichung hat also keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen. Sie können es versuchen - das Polynom x² + x + 1 wird für alle reellen Zahlen positiv sein. Setzt man zum Beispiel eine Eins hinter x, erhält man: 1 + 1 + 1 = 3 Wenn x = −1, dann haben wir 1 − 1 + 1 = 1. Wenn x = 0, dann haben wir 0 + 0 + 1 = 1. Und so ähnlich für andere Zahlen. Sie können auch den Graphen der Funktion y = x² + x + 1 sehen, er kreuzt nie die Achse x.

Viet's Formeln

Wir wissen bereits, wie man die Lösung einer quadratischen Gleichung berechnet. Aber wie ist die Beziehung zwischen den beiden Lösungen? Versuchen wir, die beiden Lösungen x₁ und x₂ zu addieren:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \end{eqnarray}$$

Wenn wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 addieren, erhalten wir den Quotienten −b/a. Was passiert, wenn wir die Wurzeln multiplizieren?

$$\begin{eqnarray} x_1\cdot x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{b^2+b\cdot\sqrt{D}-b\cdot\sqrt{D}-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=&\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Wenn wir also die Wurzeln multiplizieren, erhalten wir die Zahl c/a. Und das sind die Formeln von Viet. Wieder zusammen:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2&=&\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Beachten Sie, dass der Nenner eines Bruchs immer den Ausdruck a enthält. Der Spezialfall ist dann die quadratische Gleichung, für die a = 1 gilt. Dann können wir die Formeln von Viet so schreiben:

$$\begin{eqnarray} \mbox{ Wenn } a=1:\\ x_1+x_2&=&-b\\ x_1\cdot x_2&=&c \end{eqnarray}$$

Auf diese Weise können wir Lösungen für quadratische Gleichungen finden. Anstatt die Diskriminante auf komplizierte Weise zu berechnen, können wir sehen, ob wir die Zahlen x₁ und x₂ so finden können, dass die obigen Beziehungen gelten. Beispiel: Finden Sie die Lösung der Gleichung x² + 8x + 15 = 0. Es gilt, dass a = 1, also können wir die einfacheren Viet-Formeln verwenden. Wir suchen die Zahlen x₁ und x₂ so, dass Folgendes gilt:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&-8\\ x_1\cdot x_2&=&15 \end{eqnarray}$$

Wenn wir uns auf ganze Zahlen beschränken, haben wir insgesamt vier Möglichkeiten, beim Addieren 15 zu erhalten:

$$\begin{eqnarray} 1\cdot15&=&15\\ 3\cdot5&=&15\\ -3\cdot(-5)&=&15\\ -1\cdot(-15)&=&15 \end{eqnarray}$$

Jetzt brauchen wir die Summe der Zahlen auf der rechten Seite, um −8 zu erhalten. Nur ein Paar ergibt eine solche Summe, nämlich −3 und −5. Diese Zahlen sind also Lösungen einer quadratischen Gleichung. Wir können versuchen, sie in die Gleichung einzusetzen, sie muss Null ergeben:

$$\begin{eqnarray} (x=-3):\quad &&(-3)^2-8\cdot3+15=9-24+15=0\\ (x=-5):\quad &&(-5)^2-8\cdot5+15=25-40+15=0 \end{eqnarray}$$

Es passt. Wenn du die Wurzeln kennst, kannst du die Gleichung auch in einer besser lesbaren Form schreiben. Wenn x₁ und x₂ die Wurzeln der Gleichung ax² + bx + c = 0 sind, dann kann man die Gleichung in der Form a = 1 umschreiben

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Wir können also die vorherige Gleichung in die Form umschreiben:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$

Referenzen

• Herleitung der Diskriminante und Formel zur Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung