Parametrische quadratische Gleichung

Eine parametrische quadratische Gleichung unterscheidet sich von einer normalen quadratischen Gleichung dadurch, dass sie einen zusätzlichen Parameter enthält, der oft als p oder m bezeichnet wird. Unsere Aufgabe ist es dann, herauszufinden, welche Lösung die quadratische Gleichung in Abhängigkeit von diesem Parameter p hat.

Das erste Beispiel

Wir haben die folgende quadratische Gleichung mit dem Parameter p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Welche verschiedenen Lösungen hat die Gleichung in Abhängigkeit vom Parameter p? Wir können drei Fälle unterscheiden - die Gleichung hat keine Lösung im reellen Zahlenbereich, die Gleichung hat zwei identische Lösungen und die Gleichung hat zwei verschiedene Lösungen. Wir unterscheiden diese Fälle durch die Verwendung der Diskriminante.

Der Parameter verhält sich wie eine Konstante, d. h. für die vorherige quadratische Gleichung a = 1, b = 2p und c = 9. Jetzt berechnen wir die Diskriminante wie gewohnt:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot1\cdot9=4p^2-36.$$

Die Diskriminante, die wir erhalten haben, ist also D = 4p² − 36. Nun müssen wir herausfinden, wann diese Diskriminante positiv, negativ oder Null ist.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall, wenn die Diskriminante Null ist. Wir lösen also die Gleichung 4p² − 36 = 0. Für welche p gilt das? Dies ist eine rein quadratische Gleichung, die leicht zu lösen ist:

$$\begin{eqnarray} 4p^2-36&=&0\\ p^2-9&=&0\\ p^2&=&9\\ p&=&\pm3 \end{eqnarray}$$

Wenn der Parameter p gleich plus oder minus drei ist, dann hat die quadratische Gleichung eine Doppellösung.

Jetzt lösen wir, wenn die Diskriminante positiv ist. So lösen wir die quadratische Ungleichung

$$4p^2-36>0.$$

Die Nullstellen der Funktion f(p) = 4p² − 36 kennen wir bereits, wir haben sie im vorherigen Schritt berechnet. Aus diesen setzen wir zwei Intervalle zusammen, ein "inneres" und ein "äußeres".

$$\begin{eqnarray} I_1&=&(-\infty,-3)\cup(3, \infty)\\ I_2&=&(-3, 3) \end{eqnarray}$$

In einem dieser Intervalle ist die Funktion f(p) positiv, im anderen negativ. Wir finden dies heraus, indem wir einen Punkt aus einem der Intervalle in die Funktion einfügen. Am einfachsten ist es, eine Nullstelle aus dem Intervall I₂ hinzuzufügen. Es ist wahr, dass f(0) = 0 − 36 = −36. Im Intervall I₂ ist die Funktion also negativ, im Intervall I₁ ist sie positiv.

Daraus ergibt sich, dass die Gleichung im Intervall I₁ zwei verschiedene Lösungen hat und im Intervall I₂ hat sie keine echte Lösung. Sie sehen den Graphen der Funktion f(p) = 4p² − 36. An den Plus- und Minuspunkten ist die Quadratwurzel aus fünf Null, im Intervall I₂ ist sie negativ und im Intervall I₁ ist sie positiv.

Berechnen der Wurzeln der Gleichung

Nun müssen wir noch die Lösung der Gleichung in den Fällen berechnen, in denen die Gleichung eine Lösung hat. Wir beginnen mit dem Fall, dass die Gleichung eine Doppelwurzel hat, d. h. wenn die Diskriminante Null ist. Dies ist der Fall, wenn der Parameter gleich plus oder minus der Quadratwurzel aus neun ist.

Fall eins, p = 3. Die Gleichung hat dann die Form:

$$x^2+2\cdot3x+9=0.$$

Berechnen Sie die Diskriminante dieser Gleichung. Sie sollte gleich Null sein:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0.$$

Berechne die Wurzel mit Hilfe der Formel:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Fall zwei, p = −3. Die Gleichung hat die Form:

$$x^2-2\cdot3x+9=0.$$

Berechne die Diskriminante:

$$D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0.$$

Berechne die Wurzel:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

Im letzten Schritt berechnen wir einfach, welche Lösungen die Gleichung hat, wenn der Parameter aus der Menge (−∞,−3)∪(3, ∞) stammt. Wir haben die Diskriminante berechnet, also berechnen wir die Wurzeln der Gleichung mithilfe der Formel.

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-b\pm\sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-b\pm2\sqrt{p^2-9}}{2}.$$

Es gibt keinen besseren Weg, den Ausdruck zu ändern. Dies sind also die Wurzeln der quadratischen Gleichung, wenn der Parameter aus dem Intervall (−∞,−3)∪(3, ∞) stammt. Wenn der Parameter aus dem Intervall (−3, 3) stammt, dann hat die Gleichung keine reelle Lösung.