Parametrische lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung kann einen Parameter enthalten, den wir gewöhnlich mit p bezeichnen. Unser Ziel ist es dann, eine Diskussion darüber zu führen, welche Lösung eine lineare Gleichung in Abhängigkeit von dem Parameter p hat.

Motivation

Versuchen Sie, das folgende Problem zu lösen: Sie haben einen Roman geschrieben, "Wie Rumcajs und Schneewittchen den Nussknacker aus dem Wald vertrieben", und wollen ihn als Buch drucken lassen, um ihn einem Freund zu schenken. Sie haben 10 000 CZK zur Verfügung. Der Preis ist wie folgt. Ihr Roman ist 300 Seiten lang. Wie viele Bücher können Sie sich leisten?

Dies ist ein einfaches Problem mit einer linearen Gleichung. Wir stellen die Gleichung wie folgt auf: Die Unbekannte x steht für die Anzahl der Bücher, die wir kaufen können. So erhalten wir die Gleichung: (100 + 300)x = 10 000 Der Ausdruck in Klammern steht für den Preis eines Buches (100 ist die Basis, 300 ist der Preis pro Seite). Wir lösen die Gleichung:

$$\begin{eqnarray} (100+300)x&=&10 000\\ 400x&=&10 000\\ x&=&\frac{10 000}{400}\\ x&=&25 \end{eqnarray}$$

Wir können es uns leisten, 25 Bücher zu kaufen. Der Preis pro Seite ist jedoch zu hoch, also reduzieren wir ihn auf 0,8. Wie viele Bücher können wir nun kaufen? Stellen wir die Gleichung erneut auf: (100 + 300 · 0,8)x = 10 000 und lösen:

$$\begin{eqnarray} (100+300\cdot0{,}8)x&=&10 000\\ (100+240)x&=&10 000\\ 340x&=&10 000\\ x&=&\frac{10 000}{340}\\ x&\thickapprox&29 \end{eqnarray}$$

Wir können 29 Bücher kaufen. Bei einer so großen Anzahl von Seiten könnten wir vielleicht einen Preisnachlass für jede Seite verlangen, oder? Vielleicht nur 60 Pfennige, 0,6 Kronen? Aber ja. Rechnen wir also aus, wie viele Bücher wir bekommen.

Sie können sich wahrscheinlich vorstellen, dass wir den Preis auf diese Weise endlos ändern könnten. Wie kann man das elegant lösen? Wir werden es mit einem Parameter lösen, indem wir einen weiteren Buchstaben verwenden, der den Preis pro Seite unseres Buches darstellt. Wir werden diesen Parameter mit dem Buchstaben p bezeichnen. Um ihn einzuschränken, sagen wir, dass der Preis pro Seite im Intervall (0, 1> Kronen liegen wird. Er wird nicht Null sein, niemand wird es kostenlos drucken, und niemand wird es teurer als eine Krone pro Seite machen. Wie wird die Gleichung dann aussehen?

$$(100+300p)x=10 000$$

Sie passt zu unserer Preisvorstellung - hundert Kronen sind die Basis, sie ändert sich in keiner Weise. Und wir berechnen den Preis für 300 Seiten, indem wir den Preis pro Seite, d. h. den Parameter p, mit dreihundert multiplizieren. Wie lautet nun die Lösung der Gleichung? Wir müssen x isolieren:

$$\begin{eqnarray} (100+300p)x=10 000\\ x=\frac{10 000}{100+300p} \end{eqnarray}$$

Das ist alles. An diesem Punkt müssen wir nur den Preis pro Seite kennen und berechnen, wie viele Bücher wir erhalten. Wenn der Preis pro Seite zwanzig Pfennige beträgt, haben wir p:

$$x=\frac{10 000}{100+300\cdot0{,}2}=\frac{10 000}{100+60}=\frac{10 000}{160}\thickapprox62$$

Wir hätten dann 62 Bücher gekauft. Das ist ziemlich gut.

Die allgemeine parametrische Gleichung

Bei einer allgemeinen parametrischen Gleichung versuchen wir herauszufinden, wie die Lösung der Gleichung in Abhängigkeit vom Wert des Parameters lautet. Ein Beispiel für eine solche Gleichung könnte lauten:

$$(2p+2)x-6=0$$

Als erstes finden wir heraus, wann die Unbekannte aus einer solchen Gleichung x verschwindet. Dies geschieht, wenn der Koeffizient vor der Unbekannten Null ist, d. h. wenn 2p + 2 = 0. Wir lösen diese Gleichung und erhalten:

$$\begin{eqnarray} 2p+2&=&0\\ 2p&=&-2\\ p&=&-1 \end{eqnarray}$$

Wenn der Parameter p gleich minus eins ist, dann fällt die Unbekannte x aus der Gleichung heraus und wir erhalten die Form der Gleichung: −6 = 0. Diese Gleichung hat keine Lösung.

Nun berechnen wir die Lösung für den Fall, dass p≠ − 1. Wir berechnen die Lösung klassisch, nur erhalten wir keine "endgültige" Lösung, sondern eine Lösung in Abhängigkeit vom Parameter p. Wir isolieren x:

$$\begin{eqnarray} (2p+2)x-6&=&0\quad/+6\\ (2p+2)x&=&6\quad/:(2p+2)\\ x&=&\frac{6}{2p+2}\\ x&=&\frac{3}{p+1} \end{eqnarray}$$

Dies ist das Endergebnis. Für den Fall, dass p≠ − 1, ist die Wurzel der Gleichung gleich dem Bruch 3/(p + 1).