Lineare Gleichungen mit Absolutwert

Ein absoluter Wert ist eine Funktion, die eine nicht-negative Zahl nicht verändert und eine negative Zahl positiv macht. Der Absolutwert kann beim Lösen von linearen Gleichungen auftreten.

Wiederholung

Erinnern Sie sich daran, wie der absolute Wert berechnet und geschrieben wird. Ein Ausdruck mit absolutem Wert wird mit Hilfe der senkrechten Balken wie folgt geschrieben: |a| Wir sagen "der absolute Wert der Zahl a". Es ist dann wahr, dass der absolute Wert einer nicht negativen Zahl dieselbe Zahl ist. Beispiele: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Der absolute Wert einer negativen Zahl ist jedoch eine positive Zahl: $|-7|=7, |-\pi|=\pi, |-\frac12|=\frac12$. Der absolute Wert von Null ist Null.

Ein einfaches Beispiel

Ein Beispiel für eine einfache lineare Funktion mit einem Absolutwert ist die Gleichung: |x| = 3. Die Frage ist nun, wann der Absolutwert drei als Ergebnis liefert. Es wird zwei x geben - eine positive und eine negative; die Gleichung hat also zwei Lösungen. Die erste ist gleich x₁ = 3, weil |3| = 3. Die zweite Lösung ist gleich x₂ = −3, weil |−3| = 3.

Versuchen wir, die Gleichung zu ändern und sie schwieriger zu machen. |2x + 1| = 5 Im Absolutwert haben wir bereits einen komplizierteren Ausdruck. Aber wir können genau so vorgehen wie zuvor. Welche Zahlen sind im absoluten Wert gleich fünf? Wieder: 5 und −5. Was bedeutet das? Dass das Innere des Absolutwerts, der Ausdruck 2x + 1, gleich fünf oder minus fünf sein muss. Nur dann hat die Gleichung eine Lösung. Wir lösen also 2x + 1 = 5 und 2x + 1 = −5. Wir lösen die Gleichungen als klassische lineare Gleichungen. Wir erhalten:

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&5\\ 2x&=&4\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Und das zweite Ergebnis:

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&-5\\ 2x&=&-6\\ x&=&-3 \end{eqnarray}$$

Wir haben also zwei Ergebnisse: x₁ = 2 und x₂ = −3. Wir können versuchen, sie in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen. Im Fall von x = 2 erhalten wir: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5 und im Fall von x = −3 erhalten wir: |2 · (−3)+1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Entfernen des Absolutwerts

Das vorherige Verfahren ist jedoch schwer anzuwenden, wenn man eine komplexere Gleichung hat. Ein Beispiel:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Hier haben wir bereits zwei Ausdrücke mit Absolutwert und müssen daher ein anderes Verfahren wählen. Zunächst ein etwas einfacheres Beispiel: Was gilt für den Ausdruck |x − 2|, wenn wir x aus dem Intervall (2, ∞) nehmen? Der Ausdruck im Absolutwert wird immer positiv sein. Wenn wir zum Beispiel eine Drei addieren, erhalten wir: 3 − 2 = 1 Wenn wir eine Zehn addieren, erhalten wir: 10 − 2 = 8 usw. Für jede Zahl in diesem Intervall ist der Ausdruck im Absolutwert positiv. Wie kann der Absolutwert dann den Wert für uns verbiegen? Überhaupt nicht. Dies ist eine wichtige Beobachtung. Wenn der Ausdruck unterhalb des Absolutwerts immer positiv ist, können wir den Absolutwert entfernen - er ist dort unnötig. Wenn wir x aus dem Intervall (2, ∞) nehmen, dann gilt die Gleichheit von |x − 2| = x − 2 (d. h. wir haben den absoluten Wert entfernt).

Nun das umgekehrte Beispiel - was ist, wenn wir x aus dem Intervall (−∞, 2) nehmen? Was ist dann der Wert des Ausdrucks in absoluten Zahlen, d. h. der Wert des Ausdrucks x − 2? Er wird immer negativ sein! Versuchen wir, eine Eins zu ersetzen: 1 − 2 = −1 oder Null: 0 − 2 = −2 Was macht der Absolutwert mit diesem Wert? Er wird ihn in eine positive Form umwandeln und das Vorzeichen ändern. Wir können das Vorzeichen ändern, indem wir mit minus eins multiplizieren, denn 5 · (−1) = −5, aber auch −7 · (−1) = 7 und −15 · (−1) = 15.

Wenn wir also x aus dem Intervall (−∞, 2) nehmen, dann wird der Ausdruck im absoluten Wert immer negativ sein, und so wird der absolute Wert wirken und das Vorzeichen des Ausdrucks ändern - er wird ihn mit −1multiplizieren. So können wir für x von (−∞, 2) schreiben, die Gleichheit ist: |x − 2| = −(x − 2). Versuchen wir zum Beispiel, eine Null hineinzusetzen. Zuerst in den Ausdruck mit dem absoluten Wert: |0 − 2| = |−2| = 2 und jetzt auf der rechten Seite: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Wie Sie sehen, erlauben uns ähnliche Intervalle, den Ausdruck mit dem absoluten Wert in zwei verschiedene Ausdrücke aufzuteilen, die wir völlig getrennt lösen können. Das ist sehr praktisch. Die Frage ist nun, wie man diese Intervalle findet.

Die Nullpunktmethode

Wann hat der Ausdruck x − 2 das Vorzeichen gewechselt? Aus dem vorherigen Abschnitt wissen wir, dass der Ausdruck im gesamten Intervall (−∞, 2) negativ und im Intervall (2, ∞) positiv ist. Wie sieht es an der Stelle x = 2 aus? Durch Addition ergibt sich, dass 2 − 2 = 0 gleich Null ist. Dies ist kein Zufall. Der Grund dafür lässt sich am besten anhand des Graphen der linearen Funktion erkennen:

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Linie, sie kann die Achse x nur einmal kreuzen, und wenn sie die Achse x kreuzt, wechselt sie das Vorzeichen. Wenn also eine lineare Funktion die Achse x bei a kreuzt, dann hat sie im Intervall (−∞, a) ein anderes Vorzeichen als im Intervall (a, ∞).

Wenn wir also nach Intervallen suchen, in denen die lineare Funktion positiv und negativ ist, müssen wir nur den so genannten Nullpunkt finden, d. h. den Punkt x₀, für den die lineare Funktion f einen Funktionswert von Null hat: f(x₀) = 0 Wenn wir also nach Intervallen suchen, in denen der Ausdruck x − 2 positiv ist, lautet die erste Gleichung, die wir lösen, x − 2 = 0. Die Lösung ist x = 2. Wir können dann die Intervalle (−∞, 2) und (2, ∞) erstellen. In diesen Intervallen setzen wir dann die Lösung der Gleichung fort, allerdings ohne den Absolutwert.

Schließlich zurück zum Beispiel...

Vor vielen Zeilen haben wir ein Beispiel definiert:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Wie lösen wir es? Zunächst suchen wir die Nullstellen jedes Ausdrucks unterhalb des Absolutwerts, d. h. für die Ausdrücke 4x + 2 und x − 1. Der Ausdruck 4x + 2 hat die Nullstelle $x=-\frac12$ und der Ausdruck x − 1 hat die Nullstelle x = 1. Da wir zwei Nullstellen haben, haben wir insgesamt drei Intervalle. Jeder Nullpunkt wird das Intervall (−∞, ∞) irgendwie teilen. Insgesamt erhalten wir also die Intervalle $(-\infty, -\frac12)$, $\left<-\frac12, 1\right>$ und (1, ∞). Wir wählen die Intervalle immer so, dass sie das gesamte Intervall (−∞, ∞) abdecken.

Im nächsten Schritt müssen wir bestimmen, ob die Terme in den Intervallen positiv oder negativ sind. Zu diesem Zweck wird die Tabelle verwendet:

$$ \Large \begin{matrix} x&(-\infty, -\frac12)&\left<-\frac12, 1\right>&(1, \infty)\\\hline 4x+2&-&+&+\\ x-1&-&-&+ \end{matrix} $$

Das Minuszeichen − bedeutet, dass der Ausdruck im gegebenen Intervall negativ ist, das Pluszeichen + bedeutet, dass er positiv ist. Wie haben wir das herausgefunden? Wir setzten eine beliebige Zahl aus dem Intervall ein. Im mittleren Intervall hätten wir zum Beispiel Null einsetzen können, was rechnerisch am einfachsten ist. Dann erhalten wir für den Ausdruck 4x + 2 4 · 0 + 2 = 2 und für x + 1 0 − 1 = −1 .

Hinweis: Wenn der Ausdruck im ersten Intervall negativ und im nächsten Intervall positiv ist, wird der Ausdruck in jedem möglichen nachfolgenden Intervall wieder positiv sein. Eine lineare Funktion kann nicht zweimal das Vorzeichen wechseln, siehe das Bild oben mit dem Graphen der linearen Funktion.

Jetzt wissen wir, in welchen Intervallen welche Ausdrücke positiv oder negativ sind. Unsere nächste Berechnung muss in drei Schritte aufgeteilt werden, wir müssen in jedem Intervall separat lösen.

Das erste Intervall, d. h. x, nehmen wir von $(-\infty, -\frac12)$. In diesem Intervall sind beide Ausdrücke negativ, wenn wir also den Absolutwert entfernen wollen, müssen beide Ausdrücke das Vorzeichen wechseln. In diesem Intervall lösen wir also die Gleichung:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Wir lösen diese Gleichung einfach mit Hilfe von Äquivalenzanpassungen:

$$\begin{eqnarray} -(4x+2)-(x-1)&=&6\\ -4x-2-x+1&=&6\\ -5x-1&=&6\\ -5x&=&7\\ x&=&-\frac{7}{5} \end{eqnarray}$$

Beachten Sie, dass wir prüfen müssen, ob die Lösung in dem Intervall liegt, in dem wir uns befinden. Wir gehen jetzt davon aus, dass x aus dem Intervall $(-\infty, -\frac12)$ stammt. Wenn wir also eine Lösung erhalten, die nicht aus diesem Intervall stammt, können wir sie nicht verwenden. Minus sieben Fünftel liegt im Intervall $(-\infty, -\frac12)$, also ist dies eine gültige Lösung der Gleichung.

Das zweite Intervall, x, stammt aus $\left<-\frac12, 1\right>$. In diesem Intervall ist der Ausdruck 4x + 2 positiv und der Ausdruck x − 1 ist immer noch negativ. Wir lösen also die Gleichung

$$4x+2-(x-1)=6$$

Auch hier ändern wir einfach:

$$\begin{eqnarray} 4x+2-(x-1)&=&6\\ 4x+2-x+1&=&6\\ 3x+3&=&6\\ 3x&=&3\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Ist die Lösung aus dem Intervall, in dem wir arbeiten? Ja, das ist sie. Wir haben eine weitere Lösung für die lineare Gleichung gefunden.

Das dritte Intervall, das Intervall (1, ∞). In diesem Intervall sind beide Terme positiv, so dass wir den Absolutwert ohne weitere Änderungen entfernen können. Also lösen wir die Gleichung:

$$4x+2+x-1=6$$

Wir können diese Gleichung leicht lösen:

$$\begin{eqnarray} 4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1 \end{eqnarray}$$

Wir erhalten ein anderes Ergebnis, das gleiche wie im vorherigen Intervall. Aber ist dies eine gültige Lösung für das Intervall, in dem wir uns befinden? Nein, das ist sie nicht! Wir bewegen uns in dem offenen Intervall (1, ∞), eins ist nicht Teil dieses Intervalls, also können wir die in diesem dritten Schritt gefundene Lösung nicht als gültige Lösung betrachten.

Eine lineare Gleichung mit einem Absolutwert hat zwei Lösungen, $K=\left\{-\frac75, 1\right\}$.

Grafische Lösung

Wie die klassische lineare Gleichung kann auch diese graphisch gelöst werden. Auf der linken Seite haben wir die Funktion f(x) = |4x + 2|+|x − 1| und auf der rechten Seite g(x) = 6. Zeichnen wir diese beiden Graphen auf - sie schneiden sich in zwei Punkten. x- Die Koordinaten dieser Punkte sind die Lösungen der Gleichung.

Die Lösungsmenge K enthält also die Punkte $K=\left\{-\frac75, 1\right\}$.