Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten im Nenner

Eine lineare Funktion, die einige Brüche enthält und einige Variablen im Nenner hat, wird ähnlich wie eine klassische lineare Gleichung gelöst. In einem ersten Schritt wandeln wir die Gleichung in ihre Grundform um und lösen sie dann klassisch.

Wenn nur der Nenner eine Variable ist x

Der einfachste Typ einer solchen Gleichung ist, wenn der Nenner die Variable x enthält und sonst nichts. Ein Beispiel dafür ist die Gleichung:

$$\frac{10}{x}=5$$

Es ist offensichtlich, dass das Ergebnis der Gleichung x = 2 ist. Aber wie lösen wir sie im Allgemeinen formal? Wir mögen die Variable im Nenner nicht, wir müssen sie loswerden, weil sie nicht vernünftig manipuliert werden kann. Die Frage ist, wie wir x im Nenner loswerden können.

Stellen Sie sich einen Bruch der Form

$$\frac{a}{b}$$

Mit welchem Ausdruck müssen Sie den Bruch multiplizieren, um den Bruch loszuwerden? Damit der Ausdruck nicht mehr in Form eines Bruchs, sondern in Form eines Vielfachen vorliegt? Womit muss man ein Drittel multiplizieren (z. B. 1/3), um eine ganze Zahl zu erhalten? Man muss es mit dem Nenner des Bruchs (oder seinem Vielfachen) multiplizieren. Wenn man einen Bruch mit seinem Nenner multipliziert, erhält man einen Bruch

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

in dem man bereits den ursprünglichen Nenner b abschneiden kann, um nur den Wert a zu erhalten. Um auf das Beispiel mit dem Drittel zurückzukommen: Wenn man ein Drittel mit drei multipliziert, was erhält man dann? Man erhält drei Drittel, d. h. die Zahl eins. Was erhält man, wenn man ein Sechstel mit sechs multipliziert? Sechs Sechstel, d.h. eins. Was erhältst du, wenn du drei Siebtel mit sieben multiplizierst? Man erhält 3 · 7 = 21 einundzwanzig Siebtel, das ist drei.

Wir multiplizieren also einfach die ganze Gleichung mit der Variablen x, die der Wert des Nenners ist. Kann man das tun? Die Antwort lautet: Ja, wir können. Obwohl der Wert von x den Wert Null annehmen könnte, weil wir davon ausgehen, dass x aus der Menge der reellen Zahlen stammt, sagen uns die Terme der Gleichung, dass x≠0, weil x im Nenner des Bruchs steht und wir nicht durch Null dividieren können. Dies ist also eine äquivalente Behandlung der Gleichungen.

Okay, also multiplizieren wir die Gleichung mit der Unbekannten x. Was erhalten wir?

$$\begin{eqnarray} \frac{10}{x}&=&5\\ x\cdot\frac{10}{x}&=&x\cdot5\\ \frac{10x}{x}&=&5x \end{eqnarray}$$

Was können wir jetzt tun? Wir können x im Bruch abkürzen. Damit bleibt vom Bruch 10x/x nur noch 10 übrig: 10 = 5x. Und an dieser Stelle können wir die Gleichung als klassische lineare Gleichung lösen. Das Ergebnis ist x = 2.

Ergibt das einen intuitiven Sinn? Ja, das tut es. Stellen Sie sich eine Gleichung dieser Form vor:

$$\frac{x}{2}=10$$

Was sagt uns diese lineare Gleichung? Dass die Hälfte von x gleich zehn ist. Aber wenn wir zwei Hälften von x nehmen, müssen sie zwanzig ergeben. Aber zwei Hälften von x sind gleich einer ganzen x.

Der komplexere Ausdruck im Nenner

Im Nenner kann ein komplexerer Ausdruck stehen als nur x. Lösen Sie die Gleichung:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Wie lösen wir diese Gleichung? Wie werden wir den Bruch los? Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die Gleichung mit dem Nenner multipliziert, um den Bruch zu beseitigen. In diesem Fall werden wir das Gleiche tun. Wenn wir die Gleichung mit dem Ausdruck x + 2 multiplizieren, dann steht der Ausdruck x + 2 im Zähler des Bruchs und wir können ihn gut abschneiden. Wir werden jetzt multiplizieren:

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&10\quad/\cdot(x+2)\\ (x+2)\cdot\frac{5}{x+2}&=&(x+2)\cdot10\\ \frac{(x+2)\cdot5}{x+2}&=&10\cdot(x+2)\quad/\mbox{ Verkürzen Sie } (x+2)\\ 5&=&10\cdot(x+2) \end{eqnarray}$$

Jetzt sind wir den Bruch los, und es bleibt nur noch, die Klammern zu multiplizieren und das Ergebnis zu berechnen.

$$\begin{eqnarray} -10x-15&=&0\\ x&=&-\frac32 \end{eqnarray}$$

Mehr Brüche

Die Dinge können sehr kompliziert werden, wenn man mehrere Brüche in der Gleichung und mehrere Terme im Nenner hat. Beispiel:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Wie lässt sich diese Gleichung am besten lösen? Wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern, beide mit der Variablen x. Die Lösung ist, die Gleichung mit beiden Nennern zu multiplizieren. Wir können dies entweder nacheinander oder gleichzeitig tun. Wenn wir es der Reihe nach machen, läuft die Berechnung wie folgt ab. Wir beginnen mit der Multiplikation von (x + 2).

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&\frac{4}{x+3}\quad/\cdot(x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}&=&\frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5&=&\frac{4(x+2)}{x+3} \end{eqnarray}$$

An dieser Stelle multiplizieren wir die Gleichung mit dem zweiten Nenner, (x + 3):

$$\begin{eqnarray} 5&=&\frac{4(x+2)}{x+3}\quad/\cdot(x+3)\\ 5(x+3)&=&\frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)&=&4(x+2) \end{eqnarray}$$

Jetzt multiplizieren wir einfach die Klammern und berechnen das Ergebnis:

$$\begin{eqnarray} 5x+15&=&4x+8\\ x&=&-7 \end{eqnarray}$$

Das zweite Verfahren besteht darin, dass wir die Gleichung mit beiden Nennern gleichzeitig multiplizieren. Das heißt, am Anfang multiplizieren wir die Gleichung mit dem Ausdruck (x + 2)(x + 3). Wir erhalten:

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&\frac{4}{x+3}\quad/\cdot(x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}&=&\frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)&=&4(x+2) \end{eqnarray}$$

Wir können uns das leisten, denn wenn wir die Gleichung mit dem Ausdruck a und dann mit dem Ausdruck b multiplizieren, ist es dasselbe, als wenn wir sie mit dem Ausdruck a · b multiplizieren würden.