Ein Eigenlimit an einem Eigenpunkt

Der Grenzwert einer Funktion ist einer der wichtigsten Begriffe in der mathematischen Analyse. Er beschreibt das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes, was es uns ermöglicht, beispielsweise die Stetigkeit einer Funktion zu definieren. Der Grenzwert einer Funktion hilft uns, das Verhalten einer Funktion auch an Punkten zu verstehen, an denen sie überhaupt nicht definiert ist.

Nicht-Eigen-Grenzwert an einem Nicht-Eigenpunkt

Eine Kombination der vorherigen Grenzwerte - wir suchen nach dem Grenzwert einer Funktion für x, die sich plus oder minus unendlich nähert, und der Grenzwert selbst wird ebenfalls entweder plus oder minus unendlich sein.

Wir sagen, dass ∞ der Grenzwert einer Funktion im Punkt ∞ ist, wenn

$$(\forall K \in \mathbb{R}),(\exists A\in\mathbb{R}),(\forall x \in D(f)),(x > A \Rightarrow f(x) > K)$$

und am Punkt −∞, wenn

$$(\forall K \in \mathbb{R}),(\exists A\in\mathbb{R}),(\forall x \in D(f)),(x < A \Rightarrow f(x) > K).$$

Ähnlich verhält es sich mit x, das sich −∞ nähert. Die Definition kombiniert die vorherigen Prinzipien. Sie besagt, dass wir, wenn wir einen Grenzwert im Unendlichen suchen, der wiederum unendlich sein soll, für jeden Grenzwert K auf der Achse y einen Grenzwert A auf der Achse x finden, so dass alle Funktionswerte f(x) für x > A, d. h. jenseits des Grenzwertes A, größer sind als der gewählte Grenzwert K. Mit anderen Worten, die Funktion f(x) wächst über alle Grenzwerte hinaus. Unabhängig davon, welchen Grenzwert wir auf der Achse y wählen, wird die Funktion im Laufe der Zeit immer über diesen hinauswachsen.

Stellen Sie sich eine einfache Funktion f(x) = x vor. Wenn wir einen Grenzwert K auf der Achse y wählen, dann erhalten wir für alle x > K Funktionswerte, die größer sind als K.