Funktionen falten

Eine Funktion bringt nicht viel. Deshalb dürfen Funktionen auch zusammensetzbar sein.

Begründung

Nehmen wir zwei Funktionen an. Zum Beispiel eine Funktion, die die Anzahl der gefahrenen Kilometer pro Liter Benzin berechnet. Angenommen, unser Auto fährt 10 Kilometer mit einem Liter Benzin. Wir nennen diese Funktion f und definieren sie als f(x) = 10x, wobei der Parameter x angibt, wie viele Liter Benzin wir haben. Wenn wir also sechs Liter Benzin im Tank haben, fährt das Auto immer noch f(6) = 10 · 6 = 60 Kilometer weit.

Die zweite Funktion kann berechnen, wie viele Liter Benzin wir für eine bestimmte Anzahl von Kronen kaufen können. Nehmen wir an, ein Liter Benzin kostet 30 Kronen. Dann würde die Funktion, nennen wir sie g, wie folgt aussehen: g(x) = x / 30, wobei x angibt, für wie viele Kronen wir das Benzin kaufen wollen. Wenn wir 150 Kronen haben, würden wir g(150) = 150 / 30 = 5 Liter Benzin kaufen.

Nun könnten wir fragen, wie viele Kilometer wir mehr fahren, wenn wir Benzin für 750 Kronen kaufen?

Wir haben bereits Funktionen, die immer eine Teilmenge berechnen - die Anzahl der gefahrenen Kilometer gegen Liter und die Anzahl der gekauften Liter Benzin gegen Geld. Jetzt müssten wir beide Funktionen addieren.

Wie man das löst

Wir könnten das Problem lösen, indem wir zuerst berechnen, wie viele Liter Benzin wir kaufen würden und dann, wie viele Kilometer wir fahren würden. Versuchen wir dies. Für 750 Kronen würden wir g(750) = 750 / 30 = 25 Liter Benzin kaufen. Und mit 25 Litern Benzin würden wir f(25) = 10 · 25 = 250 Kilometer fahren.

Wir können das Problem aber auch auf andere Weise lösen, indem wir Funktionen stapeln. Wir können eine neue Funktion h definieren, die als Eingabe die Anzahl des Geldes und als Ausgabe die Anzahl der gefahrenen Kilometer erhält. Wir definieren die Funktion h unter Verwendung der Funktionen f und g wie folgt:

$$ h(x) = f(g(x)) $$

Die auf diese Weise definierte Funktion h tut das, was wir im ersten Absatz berechnet haben. Sie sagt uns, dass wir, wenn wir den Wert von x, die Anzahl der Geldbeträge, erhalten, zuerst den Wert von g(x) berechnen sollten, der die Anzahl der Liter ist, die man mit dem Geld kaufen kann. Diesen resultierenden Wert g(x), also in unserem Fall g(750) = 25, müssen wir in die Funktion f einsetzen, damit wir noch f(25) = 250 berechnen können.

Wir können auch eine direkte Notation für die Funktion h erhalten. Wir nehmen die Funktion f und ersetzen alle Vorkommen des Parameters x durch die Funktion g. Die Funktion f sieht so aus: f(x) = 10x und wir ersetzen den Parameter x durch die Funktion x / 30. So erhalten wir die Funktion h:

$$ h(x) = 10\cdot\left(\frac{x}{30}\right) $$

Bearbeiten/Reduzieren:

$$ h(x) = \frac{x}{3} $$

Wir haben nun die Funktionen f und g zu der neuen Funktion h zusammengefügt, die berechnet, wie viele Kilometer wir für Benzin im Wert von x Kronen fahren. Wir können das überprüfen, indem wir die guten alten 750 Kronen in die Funktion einsetzen:

$$ h(750) = \frac{750}{3} = 250. $$

Das Ergebnis stimmt mit unserer vorherigen Berechnung überein.

Faltung komplexerer Funktionen

Lassen Sie uns die Funktionen f und g wie folgt definieren:

$$\begin{eqnarray} f(x) &=& \sin(x) \cdot x^2 - 4\\ g(x) &=& \frac{x+1}{x-1} + 5 \end{eqnarray}$$

Versuchen wir nun, die Funktionen wie folgt zu falten: f(g(x)) Wir nehmen also die Funktion f und fügen anstelle aller Vorkommen des Parameters x, vorzugsweise in Klammern, die Funktion g ein:

$$ f(g(x)) = \sin\left(\frac{x+1}{x-1} + 5\right) \cdot \left(\frac{x+1}{x-1} + 5\right)^2 - 4 $$

Wenn wir die Funktionen umgekehrt zusammensetzen würden, erhielten wir:

$$ g(f(x))=\frac{(\sin(x) \cdot x^2 - 4)+1}{(\sin(x) \cdot x^2 - 4)-1} + 5 $$

Das Rad-Symbol wird verwendet, um Funktionen zu falten: $f \circ g$ Das Problem ist, dass diese Notation manchmal die Faltung in Richtung f(g(x)) und manchmal in Richtung g(f(x)) angibt. Die Symbolik ist in diesem Fall etwas zweideutig, so dass Sie immer überprüfen sollten, was gemeint ist.