Integration per partes
Kapitoly: Integral, Integration per partes, Integration von Substitutionen, Das definite Integral
Integration per partes, tschechisch für Integration durch Teile, wird verwendet, wenn wir eine primitive Funktion zu einer Funktion finden wollen, die in Produktform vorliegt.
Die Herleitung der Formel
Wir stützen uns bei der Herleitung auf die klassische Formel für Ableitungen.
$$ (u\cdot v)^{\prime} = u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime} $$
Nehmen wir also an, dass die Funktionen u und v auf einem Intervall J ableitbar sind, d.h. es gibt $u^{\prime}$ und $v^{\prime}$. Nun integrieren wir die beiden Seiten. Wir erhalten:
$$ \int (u\cdot v)^{\prime} = \int u^{\prime}\cdot v+\int u\cdot v^{\prime} $$
Wir können das Integral und die Ableitung von der linken Seite entfernen, denn wenn wir eine Funktion ableiten und dann zurückintegrieren, erhalten wir die ursprüngliche Funktion (außer der Konstante c).
$$ u\cdot v = \int u^{\prime}\cdot v+\int u\cdot v^{\prime} $$
Wir isolieren das Integral, in dem wir die Funktion v ableiten:
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$
Die Funktion $u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v$ ist also eine primitive Funktion der Funktion $\int u\cdot v^{\prime}$. Wir werden dies weiter ausnutzen.
Erstes Beispiel
Anhand eines Beispiels wollen wir zeigen, wie wir die Per-Partes-Methode anwenden. Wir berechnen das Integral
$$ \int x\cdot \cos x \mbox{ d}x $$
Diese Art von Beispiel lässt sich nicht mit den üblichen Mitteln lösen, die wir im grundlegenden Artikel über Integrale vorgestellt haben. Da es sich um eine Funktion in Produktform handelt, verwenden wir die Per-Partes-Methode.
In der Formel
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$
haben wir die Funktionen u und v, und wir müssen sie passend wählen. Was wir nun tun wollen, ist, die vorherige Formel zu verwenden, um das Integral von $\int u\cdot v^{\prime}$ zu berechnen. In der Aufgabe haben wir jedoch nichts dergleichen, dort haben wir x · cos x, nirgends eine Ableitung v, wie die Formel es verlangt. Also müssen wir die Funktion x · cos x in das Produkt von zwei Funktionen zerlegen. Wir deklarieren eine Funktion als u und die andere als $v^{\prime}$.
Es ist sehr wichtig, die richtige Wahl zu treffen, denn wenn wir die falsche Wahl treffen, wird das Verfahren ziemlich kompliziert. Sehen Sie sich an, was wir auf der rechten Seite erhalten, wenn wir die vorherige Formel verwenden. Mit dem Ausdruck u · v haben wir kein Problem, aber wir müssen das Integral von $\int u^{\prime} \cdot v$ berechnen. Wir sollten also in der Lage sein, die Funktion u abzuleiten und die Funktion $v^{\prime}$ zu integrieren.
Wir wählen die Funktionen wie folgt:
$$ u = x,\qquad v^{\prime} = \cos x $$
Damit haben wir die linke Seite der Gleichung, denn sie enthält das Produkt $u \cdot v^{\prime}$ im Integral. Auf der rechten Seite haben wir das Produkt u · v und ein weiteres Integral. Wir müssen also $u^{\prime}$ und v berechnen. Die Ableitung von u ist einfach:
$$ u^{\prime} = x^{\prime} = 1 $$
Nun müssen wir v aus $v^{\prime}$ berechnen, also integrieren wir $v^{\prime}$. Noch einmal - wir haben das $v^{\prime} = \cos x$ gewählt. Auf der rechten Seite der Gleichung arbeiten wir jedoch mit dem Wert von v, ohne die Ableitung. Oder wenn wir die v ableiten, die im Integranden auf der rechten Seite der Gleichung steht, müssen wir nur unsere gewählte $v^{\prime}$ von der linken Seite der Gleichung erhalten. Wir suchen also nach einer Funktion, die nach der Ableitung gleich cos x ist. Mit anderen Worten: Wir integrieren $v^{\prime}$.
$$ v=\int v^{\prime}=\int \cos x = \sin x $$
Tragen wir das, was wir bereits wissen, in die Tabelle ein:
$$\begin{bmatrix} u = x,&v^{\prime}=\cos x\\ u^{\prime} = 1, &v=\sin x \end{bmatrix}$$
Aus dieser Tabelle setzen wir die Formel
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v, $$
um dies zu erhalten:
$$ \int x \cdot \cos x = x\cdot \sin x -\int 1\cdot\sin x $$
Wir sehen, dass wir das Integral in eine andere Form bringen konnten, die einfacher zu lösen ist. Wir werden den Ausdruck x · sin x nicht weiter verändern, sondern nur das Integral auf der rechten Seite berechnen. Dies ist bereits ein einfaches Tabellenintegral:
$$ \int \sin x \mbox{ d}x = -\cos x + c $$
Wir können also schreiben, dass
$$\begin{eqnarray} \int x \cdot \cos x &=& x\cdot \sin x -\int 1\cdot\sin x\\ &=& x\cdot \sin x - (-\cos x)\\ &=& x\cdot \sin x + \cos x+c \end{eqnarray}$$
Das ist das Ergebnis.
Falsche Wahl der Funktionen
Versuchen wir an diesem Beispiel zu zeigen, was passieren würde, wenn ich die Funktionen u und $v^{\prime}$ anders gewählt hätte. Vorher wählten wir
$$ u = x,\qquad v^{\prime} = \cos x, $$
gewählt, also versuchen wir es jetzt andersherum:
$$ u = \cos x,\qquad v^{\prime} = x $$
Berechnen wir die Werte von $u^{\prime}$ und v. Wir erhalten:
$$ u^{\prime}=(\cos x)^{\prime} = -\sin x $$
Jetzt integrieren wir $v^{\prime}$:
$$ \int x \mbox{ d}x=\frac{x^2}{2} $$
Tragen wir dies in die Tabelle ein:
$$ \begin{bmatrix} u = \cos x,&v^{\prime}=x\\ u^{\prime} = -\sin x,&v=\frac{x^2}{2} \end{bmatrix} $$
Setzen wir es in die Formel ein:
$$ \int x\cos x = \cos x\cdot\frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot\frac{x^2}{2} $$
Wir können sehen, dass wir nicht viel getan haben. Wir haben das Integral von x · cos x in der Aufgabe, und jetzt haben wir die Per-Partes-Methode benutzt, um das Integral von $-\sin x\cdot\frac{x^2}{2}$ zu erhalten. Nicht auf diese Weise.
Wie man die Funktionen u und v' wählt
Leider gibt es keine allgemeingültige Regel, man muss schon ein bisschen Gefühl haben. Dann hilft es auch, wenn man sich anschaut, was man als nächstes mit den Funktionen macht. Die Grundformel, von der wir ausgehen, sieht so aus:
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$
Wenn wir eine Funktion f integrieren, die in Produktform vorliegt, versuchen wir, sie so in die Funktionen u und $v^{\prime}$ zu zerlegen, dass $f = u \cdot v^{\prime}$ gilt. Das Ziel der Per-Partes-Methode ist es, das Integral auf der rechten Seite von $\int u^{\prime} \cdot v$ einfacher zu machen als das Integral auf der linken Seite. Der Ausdruck u · v ist uns ziemlich egal, er kann beliebig komplex sein.
Um das Integral auf der rechten Seite zu vereinfachen, ist es sinnvoll, nach u eine Funktion zu wählen, die sich nach der Ableitung vereinfacht. Typischerweise ist dies bei Funktionen wie xn der Fall, bei denen sich die Funktion nach der Kollision um eine Größenordnung vereinfacht. Zum Beispiel erhalten wir von x2 2x und von x 1 - das ist ziemlich ideal.
Andererseits versuchen wir für $v^{\prime}$ etwas zu nehmen, das nach der Integration nicht noch komplexer wird. In der Regel können wir nicht erwarten, dass wir nach der Integration von $v^{\prime}$ eine einfachere Funktion erhalten, aber wir können auf eine Funktion mit ungefähr der gleichen Komplexität hoffen. In der Regel ist dies bei Sinus und Kosinus der Fall, da die eine Funktion in die andere integriert wird, was uns nicht stört.
Das zweite Beispiel
Versuchen wir es mit einem etwas komplizierteren Beispiel:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x $$
Das Integral der Funktion ex ist wiederum ex und wäre somit ein idealer Kandidat für die Integration. Umgekehrt ergibt die Ableitung von x2 2x , was einen einfacheren Ausdruck darstellt. Wir wählen also die Funktionen wie folgt aus:
$$ u=x^2,\qquad v=e^x $$
Die ganze Tabelle sieht dann so aus:
$$ \begin{bmatrix} u=x^2,&v^{\prime}=e^x\\ u^{\prime}=2x,&v=e^x \end{bmatrix} $$
Wir setzen die Formel ein:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$
Wir haben ein einfacheres Integral, aber wir sind immer noch nicht in der Lage, es vollständig zu berechnen. Machen wir noch eine Runde per partes. Jetzt werden wir dieses Integral berechnen:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$
Die Vorgehensweise ist die gleiche wie im vorherigen Schritt. Wir werden die Funktionen wie folgt wählen:
$$ \begin{bmatrix} u=2x,&v^{\prime}=e^x\\ u^{\prime}=2,&v=e^x \end{bmatrix} $$
Und wir erhalten:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - \int 2e^x \mbox{ d}x $$
Wir drucken die Zahl 2 vor dem Integral und erhalten:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - 2\cdot\int e^x \mbox{ d}x $$
Und das Integral von ex ist wieder ex:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - 2\cdot e^x $$
Wir setzen dieses Ergebnis in die vorherige Gleichung zurück:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$
Nach der Substitution erhalten wir:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2\cdot e^x) $$
Und jetzt werden wir das Ergebnis noch ein wenig in eine menschlichere Form bringen. Zuerst entfernen wir die Klammer, indem wir ihren Inhalt mit −1 multiplizieren und dann ex ausdrucken:
$$\begin{eqnarray} \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x &=& x^2\cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2\cdot e^x)\\ &=& x^2\cdot e^x - 2x \cdot e^x + 2\cdot e^x\\ &=& e^x (x^2-2x+2) \end{eqnarray}$$
Und schon haben wir das Ergebnis.
Das Integral des Logarithmus
Dies ist ein solches Integral per partes evergreen. Sehen Sie sich den Eintrag für die Integrallegende an:
$$ \int \ln x \mbox{ d}x $$
Das Interessante an diesem Integral ist, dass wir es, obwohl es kein Produkt gibt, mit per partes lösen. Wir multiplizieren einfach den Logarithmus mit eins. Das ändert nichts an der Funktion, die wir integrieren, aber wir erhalten die Multiplikation.
$$ \int 1\cdot\ln x \mbox{ d}x $$
Wie wählt man die Funktionen u und $v^{\prime}$? Wir wissen noch nicht, wie wir die Funktion ln x integrieren können (wir suchen nach ihrem Integral), also leiten wir den Logarithmus ab. Wir integrieren die 1. Daraus erhalten wir:
$$ u = \ln x, \qquad v^{\prime} = 1 $$
Die Ableitung des Logarithmus ist 1/x:
$$ (\ln x)^{\prime} = \frac1x $$
und das Integral der Eins ist x:
$$ \int 1 \mbox{ d}x = x $$
Ergänzen wir die Tabelle:
$$ \begin{bmatrix} u=\ln x,&v^{\prime}=1\\ u^{\prime}=\frac1x,&v=x \end{bmatrix} $$
Und setzen Sie die Formel ein:
$$ \int \ln x \mbox{ d}x=x\cdot\ln x-\int \frac1x\cdot x \mbox{ d}x $$
Berechnen Sie das Integral auf der rechten Seite:
$$ \int\frac1x\cdot x \mbox{ d}x = \int 1 \mbox{ d}x = x $$
Dies ergibt das Ergebnis:
$$ \int \ln x \mbox{ d}x=x\cdot\ln x-x+c $$