Das definite Integral

Das definite Integral wird verwendet, um die Größe der Fläche von Formen zu messen, die durch eine Funktion beschrieben werden.

Motivation

Gegeben sei eine Funktion $f(x) = \sin(x) + \frac{x}{4}$. Nun könnte man fragen - wie groß ist die Fläche unter der Kurve des Graphen vom Punkt a = 0 zum Punkt b = 10? Wir interessieren uns also für die Größe der Fläche, die von der Achse x, der Graphenkurve der Funktion f und den senkrechten Linien an den Punkten x₁ und x₂ begrenzt wird. All dies ist in der Abbildung zusammengefasst:

Wir interessieren uns für die Größe der blau markierten Fläche. Wie können wir sie bestimmen? Wir können dies tun, indem wir den gesamten blauen Bereich in mehrere kleinere Bereiche unterteilen, dann den Inhalt dieser kleineren Bereiche zählen und alle diese Teilinhalte zusammenzählen. Um den Inhalt der kleineren Bereiche zu berechnen, muss der kleinere Bereich eine vernünftige Form haben, damit wir den Inhalt mit einer Formel berechnen können. Ein Rechteck kommt uns in den Sinn.

Wir wählen zunächst eine aufsteigende Folge von Punkten x₀ bis x_n, so dass x₀ = a, x_n = b. Je größer n ist, desto genauer ist das Ergebnis, das wir erhalten. Wir wählen eine einfache Folge x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Aus benachbarten Punkten bilden wir die Intervalle <x_i, x_{i + 1}>, d. h. wir erhalten die Menge der Intervalle

$$ D = \left\{\left<0, 1\right>, \left<1, 2\right>, \left<2, 3\right>, \ldots, \left<9, 10\right>\right\} $$

Das erste Intervall bezeichnen wir mit D₁, das zweite mit D₂, usw. Als nächstes finden wir die Minimalwerte der Funktion f in jedem Intervall D_i. Zum Beispiel hat die Funktion f in D₁ den Mindestwert für x = 0 und f(0) = 0. In D₂ liegt der Mindestwert bei x = 1 und $f(1)=\sin(1)+\frac14 \approx 1,0914$. usw. Wir markieren diese Funktionswerte. Den niedrigsten Funktionswert im Intervall D_i bezeichnen wir mit m_i. Also $m_1 = 0, m_2 \approx 1,0914$ usw.

Nun zeichnen wir Rechtecke in den Graphen. i-dieses Rechteck hat die Breite x_i − x_{i − 1} und die Höhe m_i:

Wir sehen, dass jedes Intervall ein Rechteck hat, das ganz unter der Kurve liegt, aber auch das höchste ist. Die Höhe jedes Rechtecks im i-ten Intervall ist m_i. Wenn wir nun den Inhalt dieser Rechtecke addieren, erhalten wir eine ungefähre Schätzung der Größe der Fläche unter der Kurve. Je mehr Rechtecke wir unter die Kurve zeichnen, desto genauer wird die Schätzung. Der Inhalt des i-ten Rechtecks würde als s_i = m_i · x_i − x_{i − 1} berechnet werden, die Summe aller Rechtecke wäre dann also:

$$ s = \sum_{i=1}^{10} m_i \cdot x_i - x_{i-1} $$

Wir können den umgekehrten Weg gehen: Anstatt immer den kleinsten Funktionswert auf dem Intervall D_i zu nehmen, nehmen wir den größten Funktionswert. Wir würden diese Funktionswerte mit M_i bezeichnen. Die Rechtecke würden dann wie folgt aussehen:

Auch hier gibt es ein Rechteck für jedes Intervall, und es hat immer die Höhe M_i. Die Oberseite des Rechtecks berührt die Kurve immer nur an den lokalen Maxima des Intervalls. Die Summierung der Inhalte der einzelnen Rechtecke würde eine weitere Schätzung der Größe der Fläche unter der Kurve ergeben. Wir würden diesen Inhalt wie folgt berechnen

$$ S = \sum_{i=1}^{10} M_i \cdot x_i - x_{i-1} $$

Auch hier gilt: Wenn wir die Anzahl der Rechtecke erhöhen, erhalten wir eine genauere Schätzung.

Wir führen die Konzepte der unteren und oberen integralen Summierung ein. Wir sagen, dass s(D, f) die untere Integralsumme ist und ihr Wert gleich ist

$$ s(D, f) = \sum_{i=1}^{10} m_i \cdot x_i - x_{i-1}, $$

wobei f eine stetige Funktion auf dem Intervall <a, b> ist, wobei x₀ = a, x_n = b, D die Unterteilung der Funktion in Intervalle und n die Anzahl dieser Intervalle ist. Wir bezeichnen die obere integrale Summe mit S(D, f) und sie ist gleich :

$$ S(D, f) = \sum_{i=1}^{10} M_i \cdot x_i - x_{i-1}, $$

wobei f die Funktion und D die Unterteilung der Funktion in n Intervalle ist.

Vereinfacht ausgedrückt: Je größer D ist, desto näher liegen die Werte von s(D, f) und S(D, f) beieinander, bis sie irgendwo im Unendlichen gleich sind. Es ist also wahr, dass es eine einzige reelle Zahl A gibt, so dass

$$ s(D, f) \le A \le S(D, f) $$

für alle möglichen Teilungen von D. Was ist A für eine Zahl? Die Zahl A ist einfach der Inhalt der Fläche unter der Kurve, denn sie ist der einzige Wert, der größer oder gleich der Summe der Inhalte der Rechtecke unterhalb der Kurve und kleiner oder gleich der Summe der Inhalte der Rechtecke "oberhalb der Kurve" ist.

Definition des bestimmten Integrals

Aus dem vorherigen Abschnitt wissen wir, dass für eine stetige Funktion f auf dem Intervall <a, b>, s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) für alle Teilungen von D gilt. Diese Zahl A heißt das definite Integral der Funktion f von a nach b. Wir verwenden dann die Notation

$$ A = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x. $$

Die Newton-Leibniz-Formel besagt außerdem, dass die folgende Beziehung gilt:

$$ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b)-F(a), $$

wobei F eine primitive Funktion zur Funktion f ist. Die rechte Seite der Gleichung wird manchmal wie folgt geschrieben:

$$ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \left[F(x)\right]_a^b $$

Die geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals ist dann der oben erwähnte Flächeninhalt unter der Kurve der nichtnegativen Funktion f. Wir haben mit der Funktion $f(x) = \sin(x) + \frac{x}{4}$ begonnen, also versuchen wir, den Flächeninhalt auf dem Intervall <0, 10> zu berechnen. Wir berechnen also das bestimmte Integral

$$ \int_0^{10} \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x $$

Zuerst integrieren wir die Funktion f:

$$\begin{eqnarray} \int \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x &=& \int \sin(x) \mathrm{d}x+ \int \frac{x}{4} \mathrm{d}x\\ &=& -\cos(x) + c_1 + \frac{x^2}{8} + c_2 \\ &=& \frac{x^2}{8} - \cos(x) + c_1+c_2 \end{eqnarray}$$

Die primitive Funktion F hat also die Form $F(x) = \frac{x^2}{8} - \cos(x) + c$. Wir zerlegen das definite Integral:

$$\begin{eqnarray} \int_0^{10} \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x &=& F(10) - F(0)\\ &=& \frac{10^2}{8} - \cos(10) + c - \left(\frac{0^2}{8} - \cos(0) + c\right)\\ &=& \frac{100}{8} - \cos(10) + \cos(0) + c - c\\ &\approx& 12{,}5 + 0{,}839 + 1\\ &\approx& 14{,}339 \end{eqnarray}$$

Der ungefähre Inhalt der Fläche unter der Kurve auf dem Intervall <0, 10> ist 14,339.