Integration von Substitutionen
Kapitoly: Integral, Integration per partes, Integration von Substitutionen, Das definite Integral
Die Substitutionsmethode ist eine sehr effektive Methode zur Integration. Bei der Integration ersetzen wir einen Teil einer Funktion durch eine andere Funktion, integrieren und substituieren zurück.
Die Grundformel
Betrachten Sie die Funktion f und ihre primitive Funktion F auf dem Intervall J. Betrachten Sie dann die reelle Funktion $\phi$, die auf dem Intervall I und dennoch $\phi(I) \subseteq J$ ableitbar ist. Dann
$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = F(\phi(t)). $$
Wie sind wir von der linken Seite zur rechten Seite gekommen?
Wir werden diesen Satz anwenden, indem wir die Substitution $x = \phi(t)$ wählen und die Integrationsvariable ändern - von dt erhalten wir dx. Wir beginnen also damit, das Integral auf der linken Seite zu modifizieren, indem wir einfach $\phi(t)$ durch x ersetzen und dt in dx umschreiben:
$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \int f(x) \cdot x^{\prime} \mbox{ d}x $$
Beachten Sie, dass wir, wenn wir $x = \phi(t)$ ersetzen, plötzlich die Ableitung berechnet haben (wir leiten bereits durch x ab): $x^{\prime} = 1$. Wir können also die Ableitung von x aus dem Integral herausnehmen:
$$ \int f(x) \cdot x^{\prime} \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x $$
Außerdem ist F eine primitive Funktion zur Funktion f, so dass wir das gesamte Integral durch die Funktion F ersetzen können:
$$ \int f(x) \mbox{ d}x = F(x) $$
Schließlich machen wir die Substitution rückgängig und schreiben statt x die ursprüngliche $\phi(t)$:
$$ F(x) = F(\phi(t)) $$
Damit haben wir die Gleichheit aus der Einleitung erhalten:
$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \ldots = F(\phi(t)). $$
Ungefähr so werden wir diesen Satz verwenden.
Beispiel eins
Berechnen Sie dieses Integral:
$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t $$
Wir kennen die Formel für das Integral sin x (oder hier sin t), aber wir kennen die Formel für sin 6x nicht. Also verwenden wir die Substitution. Wir ersetzen wie folgt: x = 6t Gemäß der vorherigen Formel:
$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) \mbox{ d}t = \int f(x) \mbox{ d}x, $$
wobei $x = \phi(t)$. Für unseren speziellen Fall f = sin und $\phi(t) = 6t$. Nach der Formel gilt also folgende Beziehung:
$$ \int (\sin 6t) \cdot (6t)^{\prime} \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$
wobei x = 6t. Das Problem ist, dass wir das Integral von sin 6t berechnen wollen, nicht das Integral von $(\sin 6t) \cdot (6t)^{\prime}$. Wie kommt man aus diesem Problem heraus? Versuchen wir, die Funktion 6t herzuleiten. Wir erhalten:
$$ \int (\sin 6t) \cdot 6 \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$
Die Zahl sechs ist eine Konstante, die wir vor das Integral setzen können:
$$ 6\cdot\int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \int \sin x \mbox{ d}x, $$
Jetzt teilen wir die ganze Gleichung durch sechs:
$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \frac16\cdot\int \sin x \mbox{ d}x, $$
Auf der linken Seite haben wir die ursprüngliche Funktion, die wir am Anfang berechnen wollten. Wir müssen nur noch das Integral auf der rechten Seite berechnen. Das Integral von sin x ist gleich −cos x:
$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = \frac16\cdot(-\cos x), $$
Und nach x fügen wir wieder 6t hinzu:
$$ \int (\sin 6t) \mbox{ d}t = -\frac16\cdot\cos 6t + c, $$
Und das ist das fertige Ergebnis.
Beispiel eins einfacher
Das vorherige Verfahren war korrekt, aber normalerweise wird die Ersetzung etwas anders geschrieben. Nochmals die Aufgabe:
$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t $$
Schreibe die Substitution in Klammern hinter das Integral wie folgt:
$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt \end{bmatrix} $$
In die erste Zeile schreiben wir unsere Substitution, also x = 6t. Nun leiten wir beide Seiten ab. Die linke durch x und die rechte durch t. In der zweiten Zeile der ersten Spalte haben wir immer dx, weil die Ableitung von x immer 1 ergibt. Der Ausdruck dx zeigt also nur an, dass wir durch x abgeleitet haben.
Die rechte Seite leiten wir ganz normal nach t ab. Wir erhalten $(6t)^{\prime} = 6$ und fügen dt hinzu, weil wir nach t abgeleitet haben. Wenn wir uns die Arbeit leichter machen wollen, können wir auch dt schreiben:
$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt \end{bmatrix} $$
Im nächsten Schritt führen wir die Substitution selbst durch. Was werden wir also durch was ersetzen? Wir wollen den Ausdruck x anstelle von 6t haben, also wird das die erste Ersetzung sein. Da wir eine neue Variable x in die Funktion einfügen, müssen wir gleichzeitig auch dt ändern. Anstelle von dt ersetzen wir also den isolierten Wert in der dritten Zeile, dx/6.
Rekapitulation: Anstelle von 6t schreiben wir x (erste Zeile) und anstelle von dt schreiben wir dx/6 (dritte Zeile). Wir erhalten:
$$ \int \sin 6t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=6t\\ dx=6dt \end{bmatrix} = \int \sin x \frac{dx}{6} $$
Von hier an ist das Verfahren völlig normal. Setzen Sie die Sechs vor das Integral:
$$ \int \sin x \frac{dx}{6} = \frac16\cdot\int \sin x dx $$
Integrieren Sie den Sinus:
$$ \frac16\cdot\int \sin x dx = \frac16 \cdot (-\cos x) $$
Und füge den Ausdruck 6t wieder nach x ein:
$$ \frac16 \cdot (-\cos x) =
- \frac16 \cdot \cos 6t + c $$
Zweites Beispiel
Berechnen Sie das Integral nach der Substitutionsmethode:
$$ \int \tan t \mbox{ d}t $$
Wir könnten den Tangens wahrscheinlich in einigen Tabellen finden, aber wir können dieses Integral leicht selbst berechnen. Als Erstes müssen wir den Tangens in den Quotienten sin/cos zerlegen:
$$ \int \tan t \mbox{ d}t = \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t $$
Wir wählen die Substitution wie folgt: x = cos t Wir erhalten:
$$ \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=\cos t\\ dx=-\sin t \mbox{ d}t \end{bmatrix} $$
Isolieren wir nun dt:
$$ dt=-\frac{dx}{\sin t} $$
Jetzt können wir das Integral ersetzen. Anstelle von cos t schreiben wir x und anstelle von dt schreiben wir −dx/sin t.
$$ \int \frac{\sin t}{\cos t} \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} x=\cos t\\ dx=-\sin t \mbox{ d}t\\ \end{bmatrix} = \int -\frac{\sin t}{x}\cdot\frac{dx}{\sin t} $$
Ein kleines Problem ist, dass wir die vorherige ganzzahlige Variable t im Ausdruck, im Sinus, belassen haben. Glücklicherweise werden jedoch beide Sinuswerte ausgelöscht, und wir haben nur noch :
$$ \int -\frac{\sin t}{x}\cdot\frac{dx}{\sin t} = \int -\frac{dx}{x} $$
Um einen schöneren Ausdruck zu erhalten, müssen wir dx nach dem Bruch verschieben und eine Eins in den Zähler setzen. Wir verschieben das Minuszeichen vor das Integral:
$$ \int -\frac{dx}{x} = -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x $$
Das Integral kennen wir bereits von 1/x, es ist der Logarithmus. Wir erhalten also:
$$ -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x = -\ln |x| $$
Und wir setzen das ursprüngliche cos t wieder nach x ein.
$$ -\int \frac{1}{x} \mbox{ d}x = -\ln x = -\ln |\cos t| + c $$
Das dritte Beispiel
Berechnen Sie das Integral nach der Substitutionsmethode:
$$ \int x \cdot \sin^3 t \mbox{ d}t $$
Vielleicht verwirrt Sie die Tatsache, dass wir zwei Variablen im Integranden haben: x und t. Das macht nichts, denn wir wissen von dt, dass wir über die Variable t integrieren, und so verhält sich x wie eine Konstante. Also lassen wir den Wolf in Ruhe und stellen x vor das Integral:
$$ \int x \cdot \sin^3 t \mbox{ d}t = x\cdot\int \sin^3 t \mbox{ d}t $$
Wir haben nicht viele Formeln für sin3, aber wir könnten etwas für sin2 finden, also modifizieren wir die Funktion wie folgt:
$$ x\cdot\int \sin^3 t \mbox{ d}t = x\cdot\int \sin^2t\cdot\sin t \mbox{ d}t $$
Jetzt zerlegen wir sin2 nach der Formel sin2t = (1−cos2t). Wir erhalten das Integral:
$$ x\cdot\int \sin^2t\cdot\sin t \mbox{ d}t = x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t $$
Nun nehmen wir die Substitution vor. Wir haben die Variable x genommen, also verwenden wir zum Beispiel y. Und wir wählen y = cos t
$$ x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} y=\cos t\\ dy = -\sin t dt\\ \end{bmatrix} $$
Wir lassen dt allein stehen:
$$ dt=-\frac{dy}{\sin t} $$
Und fügen es in das Integral ein:
$$ x\cdot\int (1-\cos^2t)\cdot\sin t \mbox{ d}t = \begin{bmatrix} y=\cos t\\ dy = -\sin t dt\\ \end{bmatrix}= -x\cdot\int(1-y^2)\cdot\sin t \cdot \frac{dy}{\sin t} $$
Siny wird wieder schön abgeschnitten sein:
$$ -x\cdot\int(1-y^2)\cdot\sin t \cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot\int(1-y^2) \cdot dy $$
Wir können dieses Integral nun in zwei Integrale zerlegen:
$$ -x\cdot\int(1-y^2) \cdot dy=-x\cdot\left(\int1 \mbox{ d}y-\int y^2 \mbox{ d}y \right) $$
Dies sind alles Tabellenwerte:
$$ -x\cdot\left(\int1 \mbox{ d}y-\int y^2 \mbox{ d}y \right)=-x\cdot\left(y-\frac{y^3}{3}\right) $$
Nun addieren wir nach y die ursprüngliche cos t zurück:
$$ -x\cdot\left(y-\frac{y^3}{3}\right)=-x\cdot \left(\cos t-\frac{\cos^3t}{3}\right)+c $$
Dies ist das Endergebnis.