Oberfläche eines Zylinders

Der Flächeninhalt eines Zylinders gibt an, wie groß der Inhalt der Flächen ist, die den Zylinder begrenzen. Verwechseln Sie dies nicht mit dem Volumen des Zylinders, das uns sagt, "wie viele Liter Wasser wir in den Zylinder füllen können". Schauen wir uns einmal an, wie ein solcher Zylinder aussieht:

Formel

Wenn Sie nur eine Formel suchen, dann berechnet sich die Oberfläche eines Zylinders, dessen Grundfläche einen Radius von r und dessen Höhe v hat, wie folgt

$$\Large S=2\cdot\pi\cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r \cdot v$$

Rechner: Berechne den Flächeninhalt eines Zylinders

Wie sind wir auf die Formel gekommen?

Jeder Zylinder hat zwei Grundflächen: Das sind die beiden Kreise oben und unten. Dann hat der Zylinder einen Mantel, das ist die Fläche "zwischen" den Basen. Wenn wir die Oberfläche des Zylinders berechnen wollen, müssen wir den Inhalt der beiden Grundflächen und den Inhalt des Mantels berechnen und diese Werte zusammenzählen. Da die Grundfläche aus einem Kreis besteht, können wir den Inhalt des Kreises mit folgender Formel berechnen

$$\Large S_\circ=\pi\cdot r^2,$$

wobei r der Radius der Basis ist. In der Abbildung ist das die horizontale gestrichelte Linie. Wenn für das Beispiel r = 6 gilt, dann ist der Inhalt der Grundfläche gleich

$$\Large S_\circ=\pi\cdot 6^2 = 36\pi$$

Als nächstes müssen wir den Inhalt der Schale berechnen. Man sieht, dass die Schale aus einem "aufgerollten" Rechteck besteht. Eine Seite des Rechtecks hat die gleiche Länge wie die Höhe v des Zylinders, die senkrechte gestrichelte Linie in der Abbildung. Die andere Seite würde, wenn sie "ausgerollt" wird, die gleiche Größe wie der Umfang des Kreises haben, der die Basis bildet. Wir berechnen also zunächst den Umfang der Basis, indem wir die Formel für die Berechnung des Kreisumfangs verwenden, die lautet

$$\Large o = 2\cdot\pi\cdot r$$

Nach der Substitution erhalten wir:

$$\Large o = 2\cdot\pi\cdot 6 = 12 \pi$$

Der Umfang der Grundfläche ist 12π. Wir berechnen das Volumen des Rechtecks, nennen wir es $S_\square$, indem wir einfach die Längen der beiden Seiten multiplizieren:

$$\Large S_\square = 12\pi \cdot v$$

Wäre die Höhe des Zylinders z. B. v = 10, würden wir erhalten

$$\Large S_\square = 12\pi \cdot 10 = 120\pi$$

Die Gesamtoberfläche des Zylinders, nennen wir sie S, erhält man, indem man alle Ergebnisse addiert (und daran denkt, dass der Zylinder zwei Basen hat):

$$\Large S=S_\circ+S_\square+S_\circ$$

Das heißt, nach der Referenzfahrt:

$$\Large S=36\pi+120\pi+36\pi=192\pi$$

Wenn Ihnen das Ergebnis mit der Konstante π nicht gefällt, können Sie anstelle von π den Näherungswert 3,14 einsetzen, um das Näherungsergebnis zu erhalten

$$\Large S\approx 192\cdot3{,}14=602{,}88$$