Die Oberfläche eines Würfels
Kapitoly: Inhalt des Quadrats, Inhalt des Rechtecks, Inhalt des Kreises, Inhalt des Trapezes, Inhalt des Parallelogramms, Inhalt des Rhombus, Inhalt eines regelmäßigen n-Gons, Die Oberfläche einer Kugel, Die Oberfläche eines Würfels, Die Oberfläche eines Quaders, Oberfläche eines Zylinders, Die Oberfläche einer Nadel
Ein Würfel ist ein dreidimensionaler Körper, der einem Würfel ähnelt und dessen Flächen Rechtecke oder Quadrate sind. Schauen wir uns an, wie ein Würfel aussieht:
Um die Oberfläche eines Quaders zu berechnen, müssen wir den Inhalt aller sechs Flächen des Quaders berechnen und zusammenzählen. Die Inhalte der gegenüberliegenden Flächen sind immer gleich. Wenn der Würfel die Seitenlänge a, b, c hat, wie in der Abbildung gezeigt, dann ist die Oberfläche des Würfels gleich
$$\Large S=2ab+2ac+2bc$$
was sich weiter vereinfachen lässt zu der Formel
$$\Large S=2(ab+ac+bc)$$
Taschenrechner: Berechne die Oberfläche des Würfels
Wie haben wir das herausgefunden?
Wir müssen den Inhalt aller Wände zusammenzählen. Zunächst können wir die beiden gegenüberliegenden Wände nehmen:
Diese Wände werden durch die Rechtecke ABGH und CDEF gebildet. Wir verwenden also die Formel zur Berechnung des Inhalts eines Rechtecks, indem wir die Seitenlängen des Rechtecks multiplizieren. Wir finden also den Inhalt des Rechtecks ABGH durch Multiplikation der Längen des Rechtecks mit den Längen der
$$\Large S_{\small{ABGH}}=|AB|\cdot|BG|$$
Wir berechnen den Inhalt des zweiten Rechtecks CDEF als
$$\Large S_{\small{CDEF}}=|CD|\cdot|DF|$$
Wir können aber feststellen, dass die Länge der Seite AB gleich der Länge der Seite CD und die Länge der Seite BG gleich der Länge der Seite DF ist. Der Inhalt beider Rechtecke ist also gleich. Es ist also wahr, dass der Inhalt der beiden markierten Seiten des Quaders gleich ist
$$\Large S_1=2\cdot|AB|\cdot|BG|$$
Als nächstes berechnen wir den Inhalt der beiden Seitenwände:
Wir wissen, dass der Inhalt der beiden Wände gleich sein wird. Also berechnen wir den Inhalt des Rechtecks BGFD als
$$\Large S_{\small{BGFD}}=|BG|\cdot|GF|$$
Der Inhalt der beiden Wände ist dann gleich
$$\Large S_2=2\cdot|BG|\cdot|GF|$$
Bleibt noch, den Inhalt der Vorder- und Rückwand zu berechnen:
Der Inhalt des Rechtecks ABCD ist dann gleich
$$\Large S_{\small{ABCD}}=|AB|\cdot|BD|$$
und der Inhalt der gesamten hervorgehobenen Fläche ist gleich
$$\Large S_3=2\cdot|AB|\cdot|BD|$$
Wir berechnen die Oberfläche des gesamten Würfels, indem wir alle Teilinhalte addieren:
$$\Large S=S_1+S_2+S_3$$