Inhalt eines regelmäßigen Polygons

Ein regelmäßiges Vieleck ist zum Beispiel ein Quadrat - ein Vieleck, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. So sieht zum Beispiel ein regelmäßiges Achteck aus:

Wie würden wir den Inhalt eines solchen regelmäßigen Achtecks berechnen, wenn wir die Länge seiner Seiten kennen? Nehmen wir zum Beispiel an, eine Seite hat die Länge a = 10. Wir können uns helfen, indem wir das Achteck in acht kongruente Dreiecke unterteilen:

Das hat unsere Arbeit vereinfacht - jetzt müssen wir nur noch den Inhalt eines der Dreiecke berechnen und diesen Inhalt mit acht multiplizieren, um den Inhalt des gesamten Achtecks zu erhalten. Was wissen wir über diese Dreiecke? Es handelt sich um gleichschenklige Dreiecke - die beiden Seiten, die vom Mittelpunkt S wegzeigen, sind immer gleich lang, und die Seitenlänge des Achtecks ist unterschiedlich (nur das Sechseck kann in Dreiecke unterteilt werden, bei denen alle Seiten gleich lang sind). Die Seitenlänge von FS ist also gleich lang wie die Seitenlänge von ES.

Welchen Winkel bilden sie am Scheitelpunkt S? Das heißt, wie groß ist zum Beispiel der Winkel von $\angle FSE$? Wir sehen, dass alle Dreiecke gleich groß sind und daher alle Winkel am Scheitelpunkt S gleich groß sein müssen. Gleichzeitig wissen wir, dass wir, wenn wir die Größen aller dieser Winkel addieren, 360 Grad erhalten - eine volle Umdrehung. Die Größe des Winkels $\angle FSE$ muss also gleich 360 geteilt durch die Anzahl der Winkel, d.h. geteilt durch die Anzahl der Dreiecke, sein.

$$\Large \angle FSE = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$$

Da die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck gleich $180^\circ$ ist und wir ein gleichschenkliges Dreieck haben, müssen auch die beiden anderen Winkel die gleiche Größe haben $67,5^\circ$:

Wie berechnet man nun den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks? Wir kennen die Länge der Seite FE aus der Aufgabe, also |FE| = 10. Wir zeichnen nun die Höhe des Dreiecks ein, die durch den Punkt S geht:

Diese Linie SP_s hat unser Dreieck in zwei kleinere Dreiecke geteilt, aber sie sind wieder dasselbe - sie sind nur gespiegelt. Ordnen wir die Dreiecke ein wenig um. Nehmen wir das Dreieck FSP_s und verschieben es so, dass das Muster ein Rechteck bildet:

Dieses Rechteck SF₁EP_s hat denselben Inhalt wie unser Dreieck FSE. Wir berechnen den Inhalt des Rechtecks als das Produkt der Längen seiner beiden Seiten:

$$\Large S_\square = |v_s|\cdot |P_sE|$$

Wir kennen die Länge des Liniensegments P_sE, es ist die halbe Länge der Seite FE und hat die Länge (gemäß der Zuordnung - es ist die Seite des Achtecks) |FE| = 10. Das Liniensegment P_sE hat also die Länge |P_sE| = 5. Es ist schlechter mit der Höhe v_s. Da das Dreieck P_sSE ein rechtwinkliges Dreieck ist, können wir die goniometrische Funktion anwenden. Der Winkel $\angle P_sSE$ ist halb so groß wie der ursprüngliche Winkel $\angle PSE$, also

$$\large \angle P_sSE = \frac{\angle PSE}{2}=\frac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ$$

Wir nutzen nun die Tatsache, dass der Kotangens eines Winkels gleich dem Verhältnis der Länge des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden Schenkel ist. Der Klarheit halber bezeichnen wir den Winkel $\angle P_sSE$ mit dem griechischen Buchstaben α:

$$\Large \mbox{cotan}\ \alpha = \frac{|v_s|}{|P_sE|}$$

Wir müssen |v_s| aus dieser Gleichung herausfinden, also multiplizieren wir die ganze Gleichung mit |P_sE|, um zu erhalten:

$$\Large \mbox{cotan}\ \alpha\cdot|P_sE|=|v_s|$$

Jetzt wissen wir, was Höhe bedeutet. Wir addieren die Werte:

$$\begin{eqnarray} |v_s|&=& \mbox{cotan}\ \alpha\cdot|P_sE|\\ &\approx&2{,}414\cdot5\\ &\approx&12 \end{eqnarray}$$

Die Höhe hat eine Länge von ungefähr 12. Der Inhalt eines Rechtecks, und damit eines Dreiecks, ist gleich

$$\Large S_\triangle=|v_s|\cdot|P_sE|$$

Nach der Verrechnung erhalten wir:

$$\Large S_\triangle=12\cdot5=60$$

Der Inhalt eines Dreiecks ist ungefähr gleich 60. Da wir insgesamt acht Dreiecke haben, ist der Inhalt eines regelmäßigen Achtecks mit der Seitenlänge a = 10 gleich ca.

$$\Large S=8\cdot S_\triangle = 480$$

Wie kommt man zu dieser Formel? Für ein allgemeines n-Rechteck mit der Seitenlänge a würde folgendes gelten

$$\large S = n\cdot S_\triangle$$

Und damit haben wir die allgemeine Formel für $S_\triangle$:

$$\large S_\triangle = \frac{a}{2} \cdot \mbox{cotan}\ \alpha\cdot\frac{a}{2}$$

Der Winkel α ist halb so groß wie der Winkel that, also

$$\large \alpha = \frac{360^\circ}{n\cdot2}=\frac{180^\circ}{n}$$

Wir addieren zurück:

$$\large S_\triangle = \frac{a}{2} \cdot \mbox{cotan}\ \frac{180^\circ}{n}\cdot\frac{a}{2}$$

Und wir müssen es nur noch ein bisschen glätten:

$$\large S_\triangle =\frac14\cdot a^2 \cdot \mbox{cotan}\ \frac{180^\circ}{n}$$

Im letzten Schritt multiplizieren wir einfach diesen Wert mit der Anzahl der Seiten des n-Winkels und wir haben die resultierende Formel:

$$\large S =\frac14\cdot a^2\cdot n \cdot \mbox{cotan}\ \frac{180^\circ}{n}$$

Berechne den Inhalt eines regelmäßigen n-Ecks.