Orientierter Winkel

Die Schenkel eines Winkels teilen unsere Ebene in zwei nicht orientierte Winkel, einen größeren und einen kleineren (wenn sie nicht gleich sind). Um zu wissen, um welchen Winkel es sich handelt, führen wir den Begriff des orientierten Winkels ein.

Warum wird ein orientierter Winkel eingeführt?

Sehen Sie sich die folgende Abbildung an, in der der Winkel mit AVB gekennzeichnet ist.

Die Frage ist nun, von welchem Winkel wir sprechen. Intuitiv sind Sie wahrscheinlich davon ausgegangen, dass ich den kleineren Winkel meine, aber ich könnte auch einfach den größeren Winkel meinen. In der folgenden Abbildung sind zwei verschiedene Winkel dargestellt, die aus zwei gleichen halbparallelen Linien gebildet werden:

Ohne zusätzliche Informationen können wir nicht sagen, ob wir mit dem Winkel AVB den Alpha- oder den Beta-Winkel meinen. Um sich darüber zu verständigen, um welchen Winkel es sich eigentlich handelt, wurde der Begriff orientierter Winkel geprägt.

Positive und negative Richtung

Der orientierte Winkel hilft uns zu bestimmen, welchen Winkel wir meinen. Dazu müssen wir zwei Dinge definieren. Wir müssen die Schenkel des Winkels in der richtigen Reihenfolge angeben. So verstehen wir den Unterschied zwischen einem Winkel AVB und BVA, obwohl die Schenkel der Winkel die gleichen sind - die Halbglieder VA und VB. Wenn wir einen Winkel AVB haben, wird das Halbglied VA als Anfangsschenkel des orientierten Winkels und das Halbglied VB als Endschenkel des orientierten Winkels bezeichnet. Der gemeinsame Punkt V wird als Scheitelpunkt des orientierten Winkels bezeichnet.

Okay, wir wissen bereits, dass es von der Reihenfolge der Schenkel des Winkels abhängt. Aber wir wissen immer noch nicht, aus welcher Richtung der Winkel AVB entsteht. Tatsächlich könnte der Winkel AVB in zwei Richtungen gebildet werden, wie die folgende Abbildung zeigt:

Der Anfangsarm des Winkels ist die Halbgerade AB. Von hier aus können wir den Winkel in zwei Richtungen nehmen, die in der Abbildung durch den grünen Pfeil und die roten Pfeile dargestellt sind. Die Richtungen können klassisch im Uhrzeigersinn benannt werden: die grüne Richtung ist gegen den Uhrzeigersinn und die rote Richtung ist im Uhrzeigersinn.

In der Mathematik verwenden wir jedoch andere Bezeichnungen für diese Richtungen, nämlich positive und negative Richtungen. Die positive Richtung entspricht dem grünen Pfeil, also der Richtung gegen den Uhrzeigersinn. Die negative Richtung entspricht dem roten Pfeil, ist also die Richtung im Uhrzeigersinn.

Dies wird in der folgenden Abbildung deutlich dargestellt:

Was ist ein orientierter Winkel?

Ein orientierter Winkel ist also ein geordnetes Paar halbparalleler Linien mit einem gemeinsamen Ursprung. Wir können also einen orientierten Winkel als ein Paar von halbdirekten Linien schreiben, zum Beispiel wie folgt:

$$\left<\overrightarrow{VA}, \overrightarrow{VB}\right>,$$

Die kürzere Schreibweise ist natürlich diese: $\widehat{AVB}$ Wenn die Hauptgeraden VA und VB unterschiedlich sind, dann sind auch die Winkel $\widehat{AVB}$ und $\widehat{BVA}$ unterschiedlich.

Wir definieren nun die Grundgröße des orientierten Winkels. Die Grundgröße des orientierten $\widehat{AVB}$ ist gleich der Größe des nicht orientierten Winkels, der sich ergibt, wenn man den Anfangsarm VA in die Position des Endarms VB in positiver Richtung, d. h. gegen den Uhrzeigersinn, dreht.

Der Betrag des Ausgangswinkels stammt immer aus dem Intervall $\left<0^\circ, 360^\circ\right)$. Bitte beachten Sie, dass das Intervall nach rechts offen ist. Der Basiswinkel kann nicht gleich 360 Grad sein. Das liegt daran, dass dieser Winkel in einen Winkel der Größe Null Grad übergeht, so dass wir statt 360 Grad Null Grad schreiben. Wenn wir uns im Bogenmaß bewegen, dann ist der Winkel aus dem Intervall <0,2π).

Zusätzlich zur Basisgröße haben wir auch nur die Größe des orientierten Winkels. Sie ist auf die gleiche Weise definiert, nur dass diese Größe größer sein kann als die Basisgröße. Denn wenn wir einen Winkel erzeugen und um einen vollen Kreis drehen und den Ausgangsarm weiterbewegen, können wir einen Winkel mit einer Größe von mehr als 360 Grad erzeugen. Wenn wir anderthalb Kreise drehen, erhalten wir einen Winkel mit der Größe 360 + 180 = 540 Grad. Dies ist eine gültige Größe für einen orientierten Winkel. Dieser Winkel ist jedoch identisch mit einem Winkel der Größe 180 Grad.

Wir können jede Größe eines solchen orientierten Winkels leicht in eine Basisgröße umwandeln, indem wir die ganzzahlige Größe durch 360 dividieren und den Rest nach der Division als Basisgröße nehmen. Versuchen wir also, diese 540 Grad in eine Basisgröße umzuwandeln:

$$540 : 360 = 1\quad (\mbox{ Lesen Sie den Rest unter } 180)$$

Das Gleiche gilt für die anderen Größen. Zum Beispiel erhalten wir für Winkel der Größe 750, 1080 und 2000 Grad:

$$\begin{eqnarray} 750 : 360 = 2&\quad& (\mbox{ Lesen Sie den Rest unter } 30)\\ 1080 : 360 = 3&\quad& (\mbox{ Lesen Sie den Rest unter } 0)\\ 2000 : 360 = 5&\quad& (\mbox{ Lesen Sie den Rest unter } 200) \end{eqnarray}$$

Winkel haben eine Basisgröße von 30, 0 und 200 Grad. Beim Rechnen im Bogenmaß dividiert man durch den Ausdruck 2π.