Parabel

Eine Parabel ist eine konische Kurve, d. h. eine Kurve, die einen konstanten Abstand von einer bestimmten Linie und von einem bestimmten Punkt hat, der nicht auf dieser Linie liegt.

Wie sieht eine Parabel aus?

Eine Parabel wird durch einen Punkt F und eine Linie d definiert. Alle Punkte X dieser Parabel haben dann den gleichen Abstand von diesem Punkt F und von der Linie d. Siehe die Abbildung:

• Der Punkt F wird als Brennpunkt der Parabel bezeichnet.
• Die Linie d wird die Kontrolllinie der Parabel genannt.
• Die Linie FD wird die Achse der Parabel genannt, sie steht senkrecht zur Kontrolllinie und geht durch den Brennpunkt.
• Der Punkt V wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet und befindet sich im Mittelpunkt der Linie FD.
• Die Länge des Liniensegments FD wird als Parabelparameter bezeichnet. Sie ist der Abstand des Brennpunkts von der Kontrolllinie.

In der Abbildung ist auch zu sehen, dass der Abstand des Parabelpunkts von der Linie und vom Brennpunkt tatsächlich immer gleich ist. Zum Beispiel ist für den Scheitelpunkt V der Abstand zum Brennpunkt |VF| derselbe wie der Abstand zur Geraden |VD|. In ähnlicher Weise gilt dies auch für den Punkt X, der in der Abbildung markiert ist. Der Abstand |XF| ist derselbe wie der Abstand |XE|.

Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion.

Die Gleichung der Parabel

Es gibt vier verschiedene Fälle für die Parabel. Wie die Achse der Parabel ausgerichtet ist, d. h. ob die Achse senkrecht (parallel zur Achse y) ist, wie in der ersten Abbildung, oder ob die Achse waagerecht ist (parallel zur Achse x). Dann unterscheiden wir den Fall, dass die Parabel von unten oder oben und "von links" oder "von rechts" begrenzt wird. Die Parabel habe einen Scheitelpunkt V mit den Koordinaten [m, n].

• Erster Fall: Die Parabel hat eine Achse parallel zu y und ist von unten begrenzt. Für sie gilt die folgende Gleichung:

  $$(x-m)^2=2p(y-n)$$

  Der Brennpunkt hat Koordinaten:

  $$F\left[m, n+\frac{p}{2}\right]$$

• Zweiter Fall: Die Parabel hat eine Achse parallel zur Achse y und wird von oben begrenzt. Für sie gilt die folgende Gleichung:

  $$(x-m)^2=-2p(y-n)$$

  Der Brennpunkt hat Koordinaten:

  $$F\left[m,n-\frac{p}{2}\right]$$

• Dritter Fall: Die Parabel hat eine Achse parallel zur Achse x und ist "von links" begrenzt. Für sie gilt die folgende Gleichung:

  $$(y-n)^2=2p(x-m)$$

  Der Brennpunkt hat Koordinaten:

  $$F\left[m+\frac{p}{2},n\right]$$

• Vierter Fall: Die Parabel hat eine Achse parallel zur Achse x und ist "von rechts" begrenzt. Für sie gilt die folgende Gleichung:

  $$(y-n)^2=-2p(x-m)$$

  Der Brennpunkt hat die Koordinaten:

  $$F\left[m-\frac{p}{2},n\right]$$