Euklid's Theoreme

Der antike alexandrinische Mathematiker Euklid verfasste zwei Theoreme über Dreiecke, insbesondere über die Höhe und die Hypotenuse.

Satz des Euklid über die Höhe

Dieses Theorem gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Schauen wir uns die Grundaufgabe an:

Hier haben wir ein Dreieck ABC, die Seite c ist die Hypotenuse, und die Strecke v_c ist die Höhe der Seite c. Der Punkt P_c teilt die Seite c in zwei Abschnitte: Wir bezeichnen den Streckenabschnitt AP_c c_b , und wir bezeichnen den Streckenabschnitt BP_c c_a .

Der Satz von Euklid über die Höhe besagt dann, dass die Beziehung

$$ v_c^2 = c_a \cdot c_b, $$

wobei v_c die Länge des Linienabschnitts v_c usw. bezeichnet. Mit anderen Worten, wenn wir ein Quadrat mit der Seitenlänge v_c und ein Rechteck mit den Seitenlängen c_a und c_b konstruieren, dann haben diese Figuren denselben Inhalt. Sehen Sie sich die folgende Abbildung an, in der ein solches Quadrat und ein solches Rechteck hervorgehoben sind:

Der Höhensatz von Euklid besagt, dass diese Figuren den gleichen Inhalt haben. Das rote Quadrat hat die Seitenlänge v_c, das grüne Rechteck hat eine Seitenlänge gleich c_a, und die andere Seitenlänge gleich c_b.

Den Beweis des Satzes von Euklid über die Höhe können Sie auf Wikipedia nachlesen.

Satz des Euklid über den Radius

Dieser zweite Satz von Euklid gilt auch für ein rechtwinkliges Dreieck. Bleiben wir bei der ersten Abbildung des Dreiecks:

Der zweite Satz besagt dann, dass

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& c \cdot c_a\\ b^2 &=& c \cdot c_b\\ \end{eqnarray}$$

Wenn wir ein Quadrat mit der Seitenlänge a konstruieren, dann hat dieses Quadrat den gleichen Inhalt wie ein Rechteck mit den Seitenlängen c und c_a. Auch hier sind das Quadrat und das Rechteck zu sehen:

Der Beweis ist wiederum auf Wikipedia zu finden.