Ellipse

Eine Ellipse ist eine Kegelform. Die grundlegende Eigenschaft einer Ellipse ist, dass jeder Punkt auf der Ellipse die gleiche Summe der Abstände von zwei beliebigen Punkten in der Ebene hat. Diese Punkte werden Brennpunkte genannt.

So sieht eine Ellipse aus

Bei zwei Punkten - E und F- sind die Brennpunkte der Ellipse e. Dann gilt für jeden Punkt X der Ellipse e, dass

$$|XE|+|XF|=K,$$

wobei K eine konstante Zahl ist. Diese Zahl ist also für alle Punkte der Ellipse die gleiche. Im Fall von E = F erhalten wir einen Kreis und es gilt, dass |XE|+|XF| gleich dem Durchmesser des Kreises ist (oder |XE| muss der Radius des Kreises sein). Bild der Ellipse:

Die gleiche Summe der Abstände von den Brennpunkten bedeutet dann, dass die Summe von |EK|+|FK| gleich der Summe von |EL|+|FL| sein muss, und das Gleiche für alle anderen Punkte, die auf der Ellipse liegen.

Beschreibung und Eigenschaften der Ellipse

• Die Ellipse hat zwei Brennpunkte, die wir als E und F bezeichnen.
• Die Ellipse hat zwei Hauptscheitelpunkte, A und B, und zwei Nebenscheitelpunkte, C und D.
• Der Mittelpunkt der Ellipse, der Scheitelpunkt S in der Abbildung, liegt in der Mitte des Linienabschnitts EF, der die Brennpunkte verbindet.
• Die Linie, die durch die Hauptscheitelpunkte (und auch durch die Brennpunkte) verläuft, wird als Hauptachse der Ellipse bezeichnet, und die Linie, die durch die Nebenscheitelpunkte verläuft, als Nebenachse der Ellipse.
• Die Linie, die einen beliebigen Hauptscheitelpunkt und den Mittelpunkt der Ellipse verbindet, wird als große Halbachse bezeichnet. In der Abbildung sind dies die Linien AS und BS.
• Die Linie, die einen beliebigen Nebenpunkt und den Mittelpunkt der Ellipse verbindet, wird als Nebenhalbachse bezeichnet. In der Abbildung sind dies die Linien CS und DS.
• Die Konstante K, die gleich der Summe der Längen der Verbindungspunkte der Ellipse mit den Brennpunkten ist, ist gleich der Länge des Linienabschnitts AB. Das ist gut zu sehen, wenn wir die Summe für den Punkt B berechnen wollen. Für den Punkt lautet die Summe: |FB|+|EB|. Der Linienabschnitt EB deckt fast den gesamten Linienabschnitt AB ab, und der verbleibende Teil, der Linienabschnitt AE, ist genauso lang wie der Linienabschnitt FB. Daher |FB|+|EB| = |AB|.

Die Exzentrizität der Ellipse

Eine weitere wichtige Konstante in einer Ellipse ist die Exzentrizität, die mit e bezeichnet wird. Die Exzentrizität ist gleich dem Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt der Ellipse, d. h. e = |ES| = |FS|. Wie kann man die Exzentrizität berechnen? Zuerst finden wir heraus, wie groß der Abstand |ED| und |FD| ist.

Wir wissen, dass die Summe von K gleich der Länge von |AB| ist. Die Abbildung zeigt jedoch, dass die Segmente ED und FE die gleiche Länge haben, da die Linie CD die Achse der Ellipse ist. Die Länge der beiden Segmente ist also gleich der halben Länge von |AB|, die die Länge der großen Halbachse der Ellipse ist. Wenn wir die Länge der großen Halbachse mit a und die Länge der kleinen Halbachse mit b bezeichnen, erhalten wir die Abbildung:

Die Exzentrizität kann dann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras wie folgt ausgedrückt werden

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Je ähnlicher die Ellipse einem Kreis ist, d. h. je weniger sie abgeflacht ist, desto weniger exzentrisch ist sie.

Die Ellipsengleichung

Wie lässt sich die Gleichung einer Ellipse herleiten? Zunächst brauchen wir eine schöne Ellipse, also wählen wir eine Ellipse, deren Haupt- und Nebenachse parallel zu den Achsen x und y verlaufen und deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt, d. h. die Koordinaten [0, 0] hat. Eine solche Ellipse sieht zum Beispiel wie folgt aus:

Die Frage ist, wie man den Punkt X, der in der Abbildung blau markiert ist, allgemein ausdrücken kann. Aus der Definition einer Ellipse wissen wir, dass Folgendes gelten muss:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Da die Länge des Linienabschnitts AB gleich der doppelten Länge der Hauptachse a ist, können wir schreiben:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Als nächstes müssen wir die Länge der Segmente EX und FX irgendwie ausdrücken. Wir beginnen mit dem Segment FX. Zeichnen wir zwei weitere Linien in die Abbildung, um ein rechtwinkliges Dreieck zu bilden.

Der Punkt X hat die Koordinaten [x, y], also ist die Länge des Linienabschnitts PX gleich y-die Koordinate des Punktes X, d.h. |PX| = y. Die Länge von PF ist gleich |e − x|. Nach dem Satz des Pythagoras muss dies also gelten:

$$|FX|=\sqrt{|e-x|^2+y^2}=\sqrt{(x-e)^2+y^2}$$

Ähnlich wie wir |FX| ausgedrückt haben, drücken wir |EX| aus. Die Länge von PX wird gleich sein, wiederum y und die Länge von PE wird gleich x + e sein. Wir erhalten:

$$|EX|=\sqrt{(x+e)^2+y^2}$$

Wir setzen diese neuen Ausdrücke in die vorherige Gleichung ein:

$$\sqrt{(x+e)^2+y^2}+\sqrt{(x-e)^2+y^2}=2a$$

Nun würde ein großer Haufen von Anpassungen folgen, bis man schließlich diese schöne Form erhält:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Diese Gleichung geht jedoch von einer Ellipse aus, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt. Um eine allgemeinere Gleichung zu erhalten, müssen wir die Koordinaten des Mittelpunkts der Ellipse in die Gleichung aufnehmen. Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt [m, n] hat die Gleichung:

Wenn die Hauptachse parallel zur Achse von x liegt:

$$\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$$

Wenn die Hauptachse parallel zur Achse y ist:

$$\frac{(x-m)^2}{b^2}+\frac{(y-n)^2}{a^2}=1$$

Beispiel: Um zu glauben, dass die Gleichung tatsächlich funktioniert, setzen Sie den Punkt X aus der Abbildung ein. Für die Abbildung gelten a = 5, b = 4 und X = [2,31; 3,55] (die Koordinaten des Punktes sind gerundet, wir müssen das Ergebnis am Ende ebenfalls runden). Setzt man den linken Teil der Gleichung ein, erhält man:

$$\frac{2{,}31^2}{5^2}+\frac{3{,}55^2}{4^2}=\frac{5{,}3361}{25}+\frac{12{,}6025}{16}=0{,}213444+0{,}78765625\approx1$$

Wir haben also die Gleichheit 1 = 1 erhalten.