Hyperbel

Eine Hyperbel ist ein Kegel. Für jeden Punkt der Hyperbel ist der absolute Wert der Entfernungsdifferenz zu zwei festen Punkten immer gleich. Im Englischen ist Hyperbel übrigens ein anderer Name für Übertreibung.

So sieht eine Hyperbel aus

Die obige Definition klingt etwas unheimlich, also sehen wir uns zunächst ein Bild einer Hyperbel an:

Beachten Sie, dass eine Hyperbel im Gegensatz zu anderen konischen Formen wie einer Ellipse oder einer Parabel aus zwei Kurven besteht. Was bedeutet die vorherige Definition? Wir haben zwei Brennpunkte, F₁ und F₂. Für jeden Punkt X auf der Hyperbel muss gelten, dass die Differenz |XF₁|−|XF₂| absolut gleich groß ist.

In der Abbildung haben wir zwei Punkte X₁ und X₂. Für X₁ beträgt die Differenz: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, im absoluten Wert, dann erhalten wir das Ergebnis 2. Für X₂ sollten wir den gleichen Wert erhalten. Versuchen wir es mit: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, im absoluten Wert 2 (dass die Länge der Seite X₂F₂ gleich fünf ist, kann man zum Beispiel mit dem Satz des Pythagoras berechnen).

Wenn wir dieses Verfahren auf alle Punkte der Hyperbel anwenden, erhalten wir immer das Ergebnis 2.

Beschreibung der Hyperbel

Betrachten Sie das erweiterte Bild der vorherigen Hyperbel:

• Die Punkte F₁ und F₂ werden Brennpunkte genannt.
• Der Punkt S wird als Mittelpunkt der Hyperbel bezeichnet und liegt in der Mitte des Linienabschnitts F₁F₂.
• Die Linie F₁F₂ ist die Hauptachse der Hyperbel. Die Senkrechte zu dieser Achse im Punkt S wird als Nebenachse der Hyperbel bezeichnet.
• Die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Hauptachse werden als Scheitelpunkte der Hyperbel bezeichnet, in der Abbildung sind dies die Punkte A und B.
• Die Segmente AS und BS werden als Hauptachse der Hyperbel bezeichnet. Wir bezeichnen ihre Länge mit a.
• Die Länge der kleinen Halbachse der Hyperbel bezeichnen wir mit b.
• Der Abstand des Brennpunkts vom Zentrum wird als Exzentrizität bezeichnet, die wir mit e bezeichnen. Die Beziehung gilt:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Um besser zu verstehen, woher die Länge der kleinen Halbachse b stammt, schauen wir uns eine weitere Abbildung an:

Dies ist dieselbe Hyperbel, bei der zunächst die Asymptoten hinzugefügt wurden, d. h. die beiden gekreuzten violetten Linien a₁, a₂, die durch den Mittelpunkt S verlaufen. Die große Halbachse a bleibt unverändert, sie ist immer noch eine Linie AS. Nun wird jedoch ein Punkt D auf der Asymptote eingezeichnet, so dass der Abstand |SD| gleich der Exzentrizität e ist. Die Länge des Liniensegments AD entspricht dann der Länge der kleinen Halbachse der Hyperbel. Wie Sie aus der Abbildung ersehen können, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, so dass wir den Satz des Pythagoras und damit die folgende Beziehung anwenden können

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Der verwendete Kreis hat seinen Mittelpunkt bei S und zeigt nur, dass die Länge von |F₁S| (Exzentrizität) gleich der Länge von |SD| ist.

Die Gleichung der Hyperbel

Bei der Hyperbel werden zwei Fälle unterschieden. Es hängt davon ab, ob die Hauptachse der Hyperbel parallel zur Achse x oder zur Achse y verläuft. Betrachten wir eine Hyperbel mit dem Mittelpunkt S und den Koordinaten [m, n].

• DieHauptachse ist parallel zur Achse x:

Gleichung:

$$\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$$

• DieHauptachse ist parallel zur Achse y:

Gleichung:

$$\frac{(y-n)^2}{b^2}-\frac{(x-m)^2}{a^2}=1$$