Die Progression einer Funktion: Extremwerte

Die Extremwerte einer Funktion sind die Punkte, an denen die Funktion ihr Maximum oder Minimum hat.

Extrema einer Funktion

Es gibt zwei grundlegende Arten von Extremen - Minimum und Maximum. Man unterscheidet auch zwischen einem globalen Maximum/Minimum und einem lokalen Maximum/Minimum. Das globale Maximum ist der Punkt, an dem die Funktion den größten Wert aller Punkte im Definitionsbereich hat. Wenn dieser Wert der einzige ist, spricht man von einem scharfen Maximum. Eine Funktion kann an mehr als einem Punkt einen Maximalwert haben, so wie zum Beispiel zwei verschiedene Arbeitnehmer ein maximales Gehalt von einer halben Million Kronen pro Monat beziehen können. Die Definitionen von Minima und Maxima finden Sie im Artikel über Funktionen.

Ein lokales Minimum ist dann nur auf einem Teil des Definitionsbereichs der Funktion definiert, normalerweise auf einem Intervall. Definitionen von lokalen Maxima und Minima:

• Eine Funktion f hat ein lokales Maximum an einem Punkt M ∈ D(f), wenn es eine Nachbarschaft U = (M−ε, M+ε) gibt, in der ε > 0 so liegt, dass f(x)≤ f(M) für alle x∈ U∩ D(f) gilt.
• Eine Funktion f hat ein lokales Minimum in einem Punkt m ∈ D(f), wenn es eine Nachbarschaft U = (m−ε, m+ε) gibt, in der ε > 0 so liegt, dass f(x)≥ f(m) für alle x∈ U ∩ D(f) gilt.

Ein Beispiel für eine Funktion, die unendlich viele Extrema hat, ist die Funktion f(x) = x · sin x:

Und warum steht "für alle x∈ U∩ D(f)" in der Definition, und warum gibt es diesen Schnittpunkt mit dem Definitionsbereich? Zum Beispiel, weil die Funktion, die durch diesen Graphen gegeben ist...

ein Minimum am Punkt m = 1, aber in jeder linken Nachbarschaft des Punktes m = 1 ist die Funktion nicht definiert, so dass sie in der linken Nachbarschaft von f(x)≥ f(m) nicht gilt. Wenn wir trotzdem den Schnitt mit dem Definitionsbereich machen, erhalten wir nur die rechte Nachbarschaft.

Das Grundprinzip der Extremwertsuche

Kehren wir nun zum Graphen der Funktion f(x) = x² + 1 mit ihren drei Tangenten zurück:

Konzentrieren wir uns zunächst auf die Tangente c. Wir sehen, dass die Tangente den Graphen im Minimum der Funktion x² + 1 berührt und horizontal, d. h. parallel zur Achse x verläuft. Sie "quetscht" also einen 180-Grad-Winkel mit der positiven Halbachse x. Was würde passieren, wenn wir die Funktion umkehren und statt eines Minimums ein Maximum hätten? Zeichnen Sie die Funktion −x² + 1:

Beachten Sie, dass die Tangente c, die durch das Maximum der Funktion −x² + 1 geht, wiederum parallel zur Achse x verläuft. Daraus ergibt sich eine Regelmäßigkeit: Wenn wir das Minimum oder Maximum einer Funktion suchen, suchen wir eine Tangente, die parallel zur Achse x verläuft und deren Tangens des Winkels, den sie mit der Achse x bildet, gleich Null ist. Aus der vorherigen Abbildung geht hervor, dass $tan(180^{\circ})=0$. Im Zusammenhang mit Ableitungen suchen wir also nach einem Punkt, für den die Ableitung gleich Null ist: $f^{\prime}(x)=0$.

Berechnen wir das Extremum für unsere Lieblingsfunktion f(x) = x² + 1 mit Hilfe der Ableitung. Die Ableitung der Funktion f ist $f^{\prime}(x)=2x$. Als Nächstes suchen wir, wann die erste Ableitung Null ist, d.h. wir lösen die Gleichung $f^{\prime}(x)=0$; nachdem wir 2x = 0 eingesetzt haben. Dies gilt trivialerweise für x = 0. Wir sehen, dass dies mit der Tatsache übereinstimmt, dass die Funktion f(x) = x² + 1 ein globales Minimum am Punkt x = 0 hat.

Ausnahmen von der "Regel"

Man möchte sagen, dass eine Funktion am Punkt x genau dann ein Extremum hat, wenn die Ableitung an diesem Punkt Null ist. Leider ist das nicht wahr, so einfach ist es nicht. Schauen wir uns die folgenden Beispiele an:

• Versuchen wir, die Extrema der Funktion f(x) = x³ zu finden. Die erste Ableitung dieser Funktion ist $f^{\prime}(x)=3x^2$. Lösen wir die Gleichung $f^{\prime}(x)=0$, d.h. 3x² = 0. Das gilt natürlich auch für x = 0. Aber hat die Funktion x³ ein Extremum am Punkt x = 0? Schauen wir uns den Graphen an:

  

  Wir sehen, dass es am Punkt x = 0 kein Extremum der Funktion gibt. Weder global noch lokal. Warum ist dann die Ableitung an diesem Punkt gleich Null? Weil an diesem Punkt die Tangente t einfach parallel zur Achse x verläuft, siehe die folgende Abbildung:

  

• Was ist mit einer so schönen Funktion f(x) = |x|, d.h. dem Absolutwert von x? Aus dem Graphen können wir ersehen, dass sie ein globales Minimum im Punkt x = 0 hat:

  

  Nur hat diese Funktion keine Ableitung am Punkt x = 0! Im Punkt x = 0 hat die Funktion keine Tangente, denn es ist schwer zu sagen, wie die Tangente aussehen könnte.

Das ist wahr:

• Wenn die Funktion f im Punkt x ein Extremum, d.h. ein Minimum oder Maximum hat, und wenn es an diesem Punkt eine Ableitung (!) gibt, dann ist diese Ableitung Null. Es kann sein, dass die Funktion ein Extremum am Punkt x hat und auch, dass die Funktion keine Ableitung an diesem Punkt hat.

• Wenn die Funktion f an der Stelle x eine Ableitung von Null hat, dann kann es an dieser Stelle ein Extremum geben oder auch nicht.

Wie findet man die Extrema einer Funktion?

Wir nehmen an, dass wir als Eingabe eine Funktion f haben, die über ihren gesamten Definitionsbereich ableitbar ist. In einem ersten Schritt leiten wir also die Funktion f ab und erhalten die Funktion $f^{\prime}$. Als nächstes setzen wir die erste Ableitung gleich Null, d. h. wir lösen die Gleichung $f^{\prime}(x) = 0$. Die Lösungen dieser Gleichung sind die Punkte, die "verdächtig" sind, Extrempunkte oder stationäre Punkte zu sein.

Als Nächstes müssen wir bestimmen, welche dieser stationären Punkte Extrempunkte sind. Dies lässt sich beispielsweise anhand der zweiten Ableitung der Funktion f feststellen. Wenn s ein stationärer Punkt ist, d. h. wenn $f^{\prime}(s)=0$ gilt, dann liegt das Minimum bei $f^{\prime\prime}(s) > 0$ und das Maximum bei s, während $f^{\prime\prime} < 0$ bei s liegt.

Wenn die zweite Ableitung an diesem Punkt ebenfalls Null ist, dann müssen wir weiter ableiten, dazu später mehr. Nun ein Beispiel. Betrachten wir die Funktion f(x) = 3x² + 6x. Finde ihre Extremwerte.

Berechnen Sie die erste Ableitung: $f^{\prime}(x)=6x+6$. Setzen wir die erste Ableitung gleich Null:

\begin{eqnarray} 6x+6&=&0\\\x+1&=&0\x&=&-1 \end{eqnarray}

Es gibt also einen stationären Punkt auf x = −1; ein Punkt, der im Verdacht steht, ein Extremum zu sein. Wir berechnen die zweite Ableitung. Diese ist gleich der Funktion $f^{\prime\prime}(x)=0x+6$. Nach Einsetzen des Punktes x = −1 erhalten wir $f^{\prime\prime}(-1)=6$. Das Ergebnis ist positiv; die Funktion hat an diesem Punkt ein Minimum. Grafik:

Was ist, wenn die zweite Ableitung ebenfalls Null ist?

Versuchen wir, das Extremum der Funktion f(x) = x⁴ zu finden, Grafik:

Die erste Ableitung dieser Funktion ist $f^{\prime}(x)=4x^3$. Die Lösung der Gleichung $f^{\prime}(x)=0$ ist natürlich der einzige stationäre Punkt s = 0. Wir berechnen die zweite Ableitung, die gleich $f^{\prime\prime}(x)=12x^2$ ist. Wir setzen den stationären Punkt s in diese zweite Ableitung ein, so dass wir erhalten

$$f^{\prime\prime}(0)=12\cdot0^2=0.$$

Wir erhalten Null, was nach dem bisher Gesagten bedeuten würde, dass es in diesem Punkt kein Extremum gibt. Wir sehen aber, dass es an dem Punkt ein Extremum gibt. Wenn diese Situation eintritt, leiten wir weiter ab. Wir finden die dritte Ableitung und addieren den stationären Punkt s. Wenn eine Zahl ungleich Null herauskommt, gibt es einen so genannten Wendepunkt am Punkt s (mehr dazu später). Wenn eine Nullzahl herauskommt, leiten wir weiter ab. Für die vierte Ableitung treffen wir die gleiche Entscheidung wie für die zweite - wir setzen den stationären Punkt ein und ein positiver Funktionswert bedeutet, dass es ein Minimum gibt, ein negativer bedeutet, dass es ein Maximum gibt.

Die dritte Ableitung ist gleich $f^{\prime\prime\prime}(x)=24x$, nach der Punktierung haben wir $f^{\prime\prime\prime}(0) = 0$, also leiten wir weiter ab. Die vierte Ableitung hat die Form $f^{\prime\prime\prime\prime}(x)=24$. Wir sehen, dass die vierte Ableitung bereits immer positiv ist, woraus wir - wie bei der zweiten Ableitung - ableiten können, dass die Funktion am Punkt s = 0 ein Minimum hat. Und das tut sie.

Zusammenfassung des Verfahrens zur Bestimmung der Extrema einer Funktion

1. Wir haben eine Funktion f, die ableitbar ist.

2. Wir leiten die Funktion f ab.

3. Wir lösen die Gleichung $f^{\prime}(x)=0$. Wir nennen alle s, die Lösungen der Gleichung sind, stationäre Punkte oder Punkte, die im Verdacht stehen, Extrempunkte zu sein.

4. Berechnen Sie die zweite Ableitung.

5. Berechnen Sie den Funktionswert aller stationären Punkte s. Wenn $f^{\prime\prime}(s) > 0$, hat die Funktion ein Minimum bei s, und wenn $f^{\prime\prime}(s) < 0$, hat sie ein Maximum bei s. Wenn $f^{\prime\prime}(s)=0$, dann leiten wir weiter ab.

   Tipp: Wenn Sie sich nicht merken wollen, ob die zweite Ableitung positiv oder negativ sein muss, damit es in einem Punkt ein Maximum oder Minimum gibt, schauen Sie sich einfach die Funktion x² an. Sie sollten den Graphen dieser Funktion kennen, und die erste und zweite Ableitung sind einfach: $f^{\prime}(x)=2x$ und $f^{\prime\prime}(x)=2$. Die zweite Ableitung ist also immer positiv, und die Funktion x² hat ein Minimum im Punkt x = 0.

6. Berechnen Sie die dritte Ableitung. Wenn sie $f^{\prime\prime\prime}(s)\ne0$ ist, dann gibt es einen Wendepunkt bei s, andernfalls setzen wir die Ableitung fort.

7. Berechnen Sie die vierte Ableitung. Wenn $f^{\prime\prime\prime\prime}(s)\ne0$, dann gibt es ein Extremum an dem Punkt. Andernfalls leiten wir weiter ab.

8. Und so weiter und so fort. Wenn die erste Ableitung ungerade ist, handelt es sich um einen Wendepunkt. Wenn die Ableitung ungleich Null eine gerade Ableitung ist, handelt es sich um ein Extremum.